¿Es real la densidad lagrangiana en la teoría de campos?

Como el Lagrangiano en la mecánica clásica corresponde a la energía, debe ser real. Pero, ¿es ese el caso en la teoría cuántica de campos? Quiero decir, todavía debería corresponder a algún tipo de energía, pero ¿qué pasa con todos los " i "s aquí y allá, como en el Dirac Lagrangian i ψ ¯ γ m ∂ m ψ y la densidad de corriente j m = i mi [ … ] (ver Griffiths por ejemplo)?

Otra pregunta es, ¿cómo puede ser hermitiano, L = L † , cuando tenemos esos " i "s? ¿No obtendría un signo menos si conjugara en complejo el término de interacción y el término de campo de Dirac? Estoy realmente confundido y espero que alguien pueda ayudar

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/127797/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

En la teoría cuántica de campos, la densidad lagrangiana es un operador, no un número. Entonces no tiene sentido decir que tiene que ser real; "real" es un término que se aplica a los números, no a los operadores.

Lo que tiene que ser cierto es que L tiene que tener valores esperados reales en todos los estados físicos, y eso a su vez significa que tiene que ser hermitiano (lo que los matemáticos llaman autoadjunto). Pero la hermiticidad no es sólo una cuestión de ser real. Puede tener otros factores no hermitianos además de i . En particular, la derivada ∂ m en el Dirac Lagrangian es antihermitiano, por lo que la combinación i ∂ m en su conjunto es hermitiano.

Gracias por aclarar :-) ¿Podría explicar qué quiere decir con operador aquí? Pensé que es una función de los campos y sus derivados. Cuando dices operador, en mi opinión esto significa que actúa sobre algo, pero ¿sobre qué actúa la densidad lagrangiana en QFT?
Los campos son operadores en QFT. Y cuando combina operadores, obtiene otro operador; por eso el Lagrangiano, como combinación de campos y operadores derivados, es un operador en sí mismo. Los operadores actúan sobre estados del universo, como el estado de vacío. | 0 ⟩ , o estados de n partículas hechos aplicando los operadores de campo a ese estado, por ejemplo tu | 0 ⟩ es un estado con un quark arriba.
Ya veo, eso tiene sentido. Lo siento si estoy haciendo preguntas estúpidas, pero ni siquiera comencé a estudiar estas cosas formalmente todavía.
Estimado @David, en su mayoría no estoy de acuerdo con que el Lagrangiano no sea un número. El único formalismo cuántico significativo que utiliza las acciones y los lagrangianos es el enfoque de la integral de trayectoria de Feynman y, en ese enfoque, son funciones con valores numéricos c de observables clásicos que se integran. ... Además, L es a menudo irreal si tratamos con términos de orden impar en el espacio euclidiano (como Chern-Simons, etc.).
@Luboš No diría que el enfoque integral de ruta es el único significativo ... al menos, no en el sentido de que todo debe hacerse de esa manera. Sí, todo QFT se remonta a las integrales de ruta al final, pero en la práctica, cuando hacemos QFT perturbativo, usamos lagrangianos con valores de operador directamente, y ese parece ser el nivel en el que se hace la pregunta.
@David, estoy con Lubos. Puede construir muchos operadores a partir del "lagrangiano clásico", porque la segunda derivada en el formalismo lagrangiano mezcla el campo a lo largo del tiempo de manera que puede construir un operador que represente el lagragiano en términos de variables de campo. Si aplica la transformación legendaria, obtiene el Hamilton, que puede representar en términos de operadores y un término pag d q / d t que son ambiguas por la discretización del tiempo y la ordenación temporal que asume la representación en cuestión.
@DavidZ ¿Puede explicar por qué la densidad lagrangiana tiene que ser real en la teoría de campo clásica y debe tener un valor de expectativa real en QFT?
¿Es real la densidad lagrangiana en la teoría de campos?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v