¿Cómo se relaciona el principio de acción cuántica de Schwinger con la acción mínima?

El principio de mínima acción dice que un cuerpo se mueve de tal manera que el valor de acción S = ∫ L d t es estacionario (a menudo mínimo). El principio se escribe como

d S = 0   .

En contraste, el principio de acción cuántica de Schwinger entre un estado de entrada y salida es

⟨ o tu t | d S | i norte ⟩ = ℏ i d ⟨ o tu t | i norte ⟩   .
Tengo una pregunta simple: ¿qué se minimiza en este caso? O, más generalmente: ¿qué establece el principio, si solo se usan palabras? Esa seria mi pregunta 1.

Pregunta 2. La acción mínima implica que la trayectoria real es especial: se diferencia de todas las demás porque tiene una acción mínima/estacionaria. ¿En qué sentido el principio de Schwinger hace que la evolución del estado actual sea especial de todas las demás?

Respondiendo a una pregunta anterior similar , Qmechanic había escrito:

El principio de acción cuántica de Schwinger no es un principio variacional en el sentido de encontrar puntos estacionarios para un funcional. Más bien da una fórmula de cómo un sistema cuántico (típicamente una amplitud de superposición/transición ⟨𝐴|𝐵⟩) cambia bajo un cambio de parámetros/fuentes externos en la acción 𝑆.

¿Se pueden agregar algunas oraciones para completar la respuesta a la pregunta 2? ¿En qué sentido es especial el movimiento cuántico? ¿Cómo se aplica a las partículas libres? O: ¿cómo se puede expresar en palabras el principio de acción cuántica para partículas libres?

Pregunta 3. ¿Cómo se convierte el principio de acción de Schwinger en el principio de mínima acción en el límite clásico? Vale, si ℏ es cero, las dos ecuaciones son muy similares. ¿Es así como se hace la transición? ¿Qué se puede decir para que quede más claro?

Pregunta 4. El lado derecho del principio de Schwinger es − i ℏ veces un número complejo con una magnitud igual o menor que uno. ¿Por qué entra en el principio? ¿Es correcto decir que durante mucho tiempo, la superposición es pequeña y, por lo tanto, el lado derecho es cero?

@Qmechanic Había leído esa pregunta, incluida su respuesta. Pero no responde las preguntas 1 y 3, y solo parcialmente la pregunta 2. Deje el tema abierto; las respuestas son caras para mí y me gustaría mucho saberlas.
@Qmechanic ¿Quiere decir que la respuesta a la pregunta 1 es "nada"?

Respuestas (1)

En el principio cuántico variacional nada se minimiza : no hay variación que se ponga a cero.

Más bien, el principio es la versión infinitesimal de la integral de trayectoria de Feynman. De hecho, integrando el principio variacional se obtiene la fórmula usual para la integral funcional, como muy claramente lo enfatiza Bryce DeWitt, alumno de Schwinger, cf. referencia 1 §10. De hecho, es difícil encontrar una mejor presentación del principio variacional que la de esta referencia.

Como el principio variacional es completamente equivalente a la integral funcional, la interpretación física es la misma: la amplitud para cualquier configuración de campo dada es una fase, determinada por la acción clásica de esa configuración. Este es un postulado, no hay una explicación más profunda de dónde viene. Se puede derivar toda la mecánica cuántica de este principio, pero no se puede derivar el principio mismo. Sin embargo, DeWitt tiene una muy buena motivación. Ve a comprobarlo.

Además, y por la misma razón, el límite clásico se obtiene de la misma manera: como es habitual, la configuración clásica, al ser un punto crítico, aporta una contribución particularmente grande a la amplitud total, al menos mientras S / ℏ es suficientemente grande. en el limite S / ℏ → ∞ , la configuración clásica es la única configuración: el resto interfiere destructivamente. Se debe tener en cuenta que, si S / ℏ no es grande, los efectos puramente cuánticos pueden dominar, en cuyo caso la configuración clásica es completamente irrelevante para la dinámica.

No entiendo la subpregunta 4. Pero no: el rhs no es (típicamente) insignificante para tiempos largos. Es despreciable en el límite clásico, y solo en ese límite, por definición. A veces, t → ∞ podría ser equivalente al límite clásico (por ejemplo, si desactivamos adiabáticamente las interacciones o algo así). Pero no en general.

Como comentario adicional, se puede reformular el principio variacional cuántico como un principio variacional clásico, reemplazando la acción clásica por la acción efectiva (cuántica). En términos más sofisticados, se puede introducir el soporte BV cuántico, etc., todos los cuales reemplazan a los objetos clásicos. Ver ref. 1 §24 si está interesado. Esto está más allá del alcance de esta publicación.

Referencias.

  1. DeWitt BS - El enfoque global de la teoría cuántica de campos Vol.1.
Gracias, lo estoy consiguiendo, poco a poco. Escribes "la amplitud para cualquier configuración de campo dada es una fase, determinada por la acción clásica de esa configuración". Pero en el postulado hay estados de "adentro" y "afuera". Entonces, ¿debería leerse la declaración como: "la amplitud para cualquier transición de campo dada es una fase, determinada por la acción clásica de esa transición"?
¿Ans "S/hbar" probablemente debería ser "grande" en lugar de "pequeño" en todas partes?
Si tiene tiempo para responder a mis comentarios, liberaría la recompensa...
@Christian Hola. 1) Las etiquetas de entrada/salida se refieren a estados genéricos. Por lo general, dependen funcionalmente de los campos. La variación se refiere a su dependencia implícita de la misma, y ​​sólo de esa dependencia (no admitimos variaciones que cambien la dependencia funcional de los campos). Entonces: la amplitud ⟨in|out⟩ depende como funcional de los campos, y esta dependencia se postula como una fase, determinada por la acción evaluada sobre esa configuración. Esto se explica con mucho más detalle en la referencia. 2) ¡Sí! 3) No hay prisa por otorgar la recompensa, ¡es mejor esperar en caso de que aparezca una mejor respuesta!
Por cierto, el libro de DeWitt es terrible. Mucho formalismo, poca física. Un libro de desastres para aprender QFT.
¿Cómo se relaciona el principio de acción cuántica de Schwinger con la acción mínima?
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