¿Qué varía exactamente en el lado izquierdo del principio de acción cuántica de Schwinger?

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¿Qué varía exactamente en el lado izquierdo del principio de acción cuántica de Schwinger?

látigo cuántico

El principio de acción cuántica de Schwinger establece que si "varías los operadores de campo"

\hat{ϕ^{'}} (X^{'}) = \hat{ϕ} (X) + d \hat{ϕ} (X)

$\hat{\phi'}(x') = \hat{\phi}(x) + \delta \hat{\phi}(x)$ (que cambia el Operador de Acción), entonces "la variación de la Amplitud de transición" es igual a la variación de la Acción. En el cuadro de Heisenberg, dado

X^{'} = X + d X (X)

$x' = x + \delta x(x)$ y

\hat{ϕ^{'}} (X^{'}) = \hat{ϕ} (X) + d \hat{ϕ} (X)

$\hat{\phi'}(x') = \hat{\phi}(x) + \delta\hat{ \phi}(x)$ se puede calcular cuál es la variación de la acción

δ S

$\delta S$ supuestamente es. Además, puede dar algún tipo de significado a estas operaciones matemáticas: Considere el estado del campo que se está

| Ψ ⟩

$| \Psi \rangle$ , entonces la transformación cambia el valor medio del campo de acuerdo a

⟨ ϕ^{'} ⟩ (X^{'}) = ⟨ ϕ ⟩ (X) + ⟨ d ϕ ⟩ (X)

$\langle\phi'\rangle(x') = \langle\phi\rangle(x) + \langle\delta \phi\rangle(x)$ De la misma manera, el valor medio de la acción que tiene "este camino" cambiará por

δ S

$\delta S$ .

Tanto para el lado derecho. Ahora para el lado izquierdo, donde siempre leo algo como:

d ⟨ ϕ_{1}, τ_{1} | ϕ_{2}, τ_{2} ⟩

$\delta \langle \phi_1, \tau_1| \phi_2, \tau_2 \rangle$

Pregunta: ¿Cuál es el significado de $\delta$ en esta expresión?

Para ser más específicos: por lo general, un $\delta$ indica una diferencia entre dos valores, presumiblemente entre $\langle \phi_1, \tau_1| \phi_2, \tau_2 \rangle$ y $\langle \phi_1, \tau_1|' |\phi_2, \tau_2 \rangle'$ . Lo que me lleva a la pregunta, ¿cómo $|\phi_2, \tau_2 \rangle'$ está conectado a $|\phi_2, \tau_2 \rangle$ . Además, dado que hay algún mapeo de transformación $|\phi_2, \tau_2 \rangle$ a $|\phi_2, \tau_2 \rangle'$ , ¿cómo se relaciona esta transformación con la transformación del operador?

Pregunto esto porque de alguna manera me falta una comprensión intuitiva de qué es exactamente lo que estoy variando aquí, y qué dice exactamente el principio, y parece que nadie se atrevió a escribirlo en su totalidad explícitamente.

Respuestas (1)

¿Qué varía exactamente en el lado izquierdo del principio de acción cuántica de Schwinger?

Sean E. Lago · Answer 1

El $\delta$ en este contexto es del cálculo de variaciones . Se usa en analogía con el cálculo ordinario donde $\operatorname{d}x$ es notación para un cambio infinitesimal en la cantidad $x$ , $\delta f(x)$ es un cambio infinitesimal de la función, $f$ . En la notación del artículo de Wikipedia vinculado, $\delta f \equiv \epsilon \eta$ . Piense en ello como el espacio funcional análogo de $\mathrm{d}x_i$ para algunos vectores $\vec{x}$ .

Cuando se coloca en una derivada funcional, como

\frac{d S [F]}{d F (X)}

$\frac{\delta S[f]}{ \delta f(x)}$ es análogo a un gradiente de la forma

\frac{\partial h (x)}{\partial x_{i}}

$\frac{\partial h(\mathbf{x})}{\partial x_i}$ .

Ahora, puede preguntar qué significa una "función infinitesimal", y la respuesta depende de qué métrica se elija para el espacio de funciones. En física, por lo general solo usamos el $L^p$ espacio con $p=2$ , por lo que la distancia al cuadrado entre dos funciones $f$ y $g$ es dado por:

D^{2} = \int | F (X) - gramo (X) |^{2} d X .

$D^2 = \int |f(x) - g(x)|^2 \operatorname{d}x.$ Entonces, una función infinitesimal será cualquier función que esté a una distancia infinitesimal del

0

$0$ función.

Lo siento, pero eso no responde mi pregunta en absoluto, ya que aquí $\delta$ no se usa delante de una función, sino delante de un producto interno de estados.
@Quantumwhisp Los estados están representados por funcionales de onda (por ejemplo, physics.stackexchange.com/questions/491136/… ), por lo que el parámetro es una función del espacio.

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Sean E. Lago

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