Integral de campo funcional en la teoría de campos de materia condensada (Altland)

Question

Integral de campo funcional en la teoría de campos de materia condensada (Altland)

usuario45234

Esta es la acción para el sistema de electrones interactuantes de 1+1 dimensiones;

S_{C yo} [θ, ϕ] = \frac{1}{2 π} \int d X d τ ({gramo}^{- 1} v (\partial_{X} θ)^{2} + gramo v (\partial_{X} ϕ)^{2} + 2 i \partial_{τ} θ \partial_{X} ϕ) .

$S_{cl}[\theta , \phi]= \frac{1}{2\pi} \int dxd\tau \left(g^{-1}v(\partial_x \theta)^2 + gv(\partial_x \phi)^2 + 2i\partial_{\tau} \theta \partial_x \phi \right).$

Quiero integrar el campo gaussiano $\phi$ . Este libro dice que es solo una integración gaussiana "elemental". Entonces, probé algunas modificaciones a esta acción;

S_{C yo} [θ, ϕ] = \frac{1}{2 π} \int d X d τ ({gramo}^{- 1} v (\partial_{X} θ)^{2} + (\sqrt{gramo v} \partial_{X} ϕ + \frac{i}{\sqrt{gramo v}} \partial_{τ} θ)^{2} + \frac{1}{gramo v} (\partial_{τ} θ)^{2}) .

$S_{cl}[\theta , \phi]= \frac{1}{2\pi} \int dxd\tau \left(g^{-1}v(\partial_x \theta)^2 + (\sqrt{gv}\partial_x \phi + \frac{i}{\sqrt{gv}}\partial_{\tau} \theta)^2 + \frac{1}{gv}(\partial_{\tau} \theta)^2 \right).$

Para esta acción, la función de partición viene dada por

\int D θ D ϕ Exp [- S_{C yo}] .

$\int D\theta D\phi \exp[-S_{cl}].$

Tal vez, el segundo término de la acción esté relacionado con la integral de Gauss. Pero, no sé cómo calcularlo.

¿Cómo puedo calcular esto?

Respuestas (1)

Integral de campo funcional en la teoría de campos de materia condensada (Altland)

qmecanico · Answer 1

OP ya ha completado la plaza en el segundo trimestre

\begin{matrix} (1) & (\sqrt{gramo v} \partial_{X} ϕ + \frac{i}{\sqrt{gramo v}} \partial_{τ} θ)^{2} = gramo v (\partial_{X} ϕ + \frac{i}{gramo v} \partial_{τ} θ)^{2} = gramo v {(\partial_{X} (ϕ + \frac{i}{gramo v} \partial_{τ} Θ))}^{2} \end{matrix}

$\tag{1} (\sqrt{gv}\partial_x \phi + \frac{i}{\sqrt{gv}}\partial_{\tau} \theta)^2 ~=~ gv (\partial_x \phi + \frac{i}{gv}\partial_{\tau} \theta)^2 ~=~ gv \left(\partial_x( \phi + \frac{i}{gv}\partial_{\tau} \Theta)\right)^2$

de la acción Aquí definimos la antiderivada (también conocida como integral primitiva o indefinida)

\begin{matrix} (2) & Θ (X, t) := \int_{0}^{X} d X^{'} θ (X^{'}, t) . \end{matrix}

$\tag{2} \Theta(x,t)~:=~ \int_0^x \!dx^{\prime}~\theta(x^{\prime},t).$

Así que la integración de Gauss sobre $\phi$ elimina el segundo término en la acción clásica, incluso para un desplazamiento imaginario (1).

Mecánicamente cuántica, también aparecerá un factor determinante multiplicativo de Van Vleck-Morette

\begin{matrix} (3) & ({D mi t}^{'} (- Δ))^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

$\tag{3} ({\rm Det}^{\prime}(-\Delta))^{-\frac{1}{2}}$

delante de la integral de trayectoria restante sobre $\theta$ . Aquí $\Delta:=\partial_x^2$ . El primo en la ec. (3) indica que debe excluirse un modo cero.

Referencias:

A. Altland y B. Simons, Teoría del campo de la materia condensada, 2010, pág. 180-191.

Integral de campo funcional en la teoría de campos de materia condensada (Altland)

usuario45234

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qmecanico

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