¿Integrales de trayectoria para acciones arbitrarias?

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¿Integrales de trayectoria para acciones arbitrarias?

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Todas las presentaciones que conozco sobre integrales de trayectoria, por ejemplo, en mecánica cuántica, deducen las fórmulas considerando un hamiltoniano de la forma

H = \frac{1}{2 metro} {pag}^{2} + V (X) .

$H = \frac{1}{2m}p^{2}+V(x).$ La expresión final es:

\begin{matrix} (1) & ⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩ = \int D X (t) {mi}^{i \frac{S [X (t)]}{ℏ}} \end{matrix}

$\langle x_{f},t_{f}|x_{i},t_{i}\rangle = \int Dx(t) e^{i\frac{S[x(t)]}{\hbar}} \tag{1}\label{1}$ dónde

S [x (t)]

$S[x(t)]$ es la acción asociada. Análogamente, en QFT, se suele tomar:

H = \int d^{3} X (\frac{1}{2} π^{2} (X) + V [ϕ])

$H = \int d^{3}x\bigg{(}\frac{1}{2}\pi^{2}(x) + V[\phi]\bigg{)}$ y obtenemos:

\begin{matrix} (2) & ⟨ 0 | 0 ⟩ = \int D ϕ {mi}^{i S [ϕ]} \end{matrix}

$\langle 0| 0\rangle = \int D\phi e^{iS[\phi]} \tag{2}\label{2}$ dónde

S

$S$ es, de nuevo, la acción asociada.

Pregunta: Me parece que estas opciones deno son los más generales que se pueden utilizar, pero se utilizan para facilitar la deducción de las fórmulas. Hace ( $\ref{1}$ ) y ( $\ref{2}$ ) también vale para acciones arbitrarias? Estoy un poco confundido acerca del rango de validez de tales fórmulas.

Respuestas (1)

¿Integrales de trayectoria para acciones arbitrarias?

prahar · Answer 1

Para acciones generales, la fórmula es

⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩ = \int [d X (t)] [d pag (t)] {mi}^{\frac{i}{ℏ} \int d t (pag (t) \dot{q} (t) - H [q (t), pag (t)])}

$\langle x_f , t_f | x_i , t_i \rangle = \int [ d x (t) ] [ d p ( t ) ] e^{ \frac{i}{\hbar} \int dt \left( p(t) {\dot q}(t) - H [ q(t) , p(t) ] \right) }$ Si el hamiltoniano toma la forma

H [q, p] = \frac{p^{2}}{2 m} + V (q)

$H[q,p] = \frac{p^2}{2m} + V(q)$ , entonces podemos realizar la integral sobre

p

$p$ exactamente y reproducimos la ecuación (1) que escribiste.

Prahar muy agradable! ¿Qué tal la integral de trayectoria en QFT? ¿Se convierte en una integral sobre $\pi$ y $\phi$ ¿también?
QFT es una generalización "trivial" sobre QM. $p \to \pi$ , $q \to \phi$ y te integras $x$ también.
También existe el pequeño detalle de que uno necesita usar el hamiltoniano ordenado por Wyle para que esto funcione.

¿Integrales de trayectoria para acciones arbitrarias?

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prahar

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prahar

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