Convergencia paramétrica de series infinitas

He estado realizando algunos ejercicios relacionados con la prueba de la raíz de Cauchy y la prueba de la razón de D'Alembert para series infinitas. Permítanme decir que soy consciente de que son equivalentes, debido al teorema de Stolz-Cesàro. Tenía algunas series paramétricas a la mano, y dado que nunca se puede ir demasiado en detalle con el análisis de entidades con parámetros (al menos me arrepiento cada vez que no lo hice), primero comencé aplicando convergencia básica prueba, es decir, serie$\sum{a_n}$diverge si$\lim_{n\to+\infty}a_n \ne 0$. Luego aplicaría la prueba adecuada, la de la raíz o la de la razón, según la serie. Me llamó la atención que para todos y cada uno de los casos la serie convergía para todo el intervalo en el que realmente podría converger. Es decir, si la prueba de convergencia dice que la serie diverge cada vez que un parámetro, digamos$p$, está en el intervalo$I$, entonces la serie converge exactamente en todo el intervalo$I$cuando se aplicó una de las otras dos pruebas.

Me pregunto por qué sucede esto. ¿No fui firme con mi análisis? En todos los ejemplos el parámetro$p$se dio como un número real positivo, entonces es posible que para los números negativos de$p$esas series todavía divergen en algún lugar dentro$I$? Indicaré algunos de los problemas de práctica que fueron más interesantes y las soluciones que tengo para ellos. Espero que alguien pueda decirme si lo que he notado es un hecho, o simplemente se reduce al hecho de que$p$siempre fue positivo. ¿Puedo al menos siempre esperar eso para positivo?$p$tanto la prueba de convergencia como la de raíz/razón dan los mismos resultados? Si no, ¿cuáles son algunos contraejemplos?

Ejemplo 1:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{p\cdot n}{n+1})^n,\ p \in (0,+\infty)$$ La serie converge para$p \in (-1,1)$. Para este caso, en realidad tomé$p \in \mathbb{R}$, porque no fue tan difícil pasar por todos los casos como por los otros. Aquí usé la prueba de raíz. También$\lim_{n\to+\infty}a_n = \frac{1}{e}\lim_{n\to+\infty}p^n$y$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=p$.

Ejemplo 2:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{(p+\frac{1}n)^n}, p\in(0,+\infty)$$ La serie converge para$p \in (1,+\infty)$. También$\lim_{n\to+\infty}a_n = \frac{1}{\sqrt[p]{e}}\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{p})^n$y$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}p$.

Ejemplo 3:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{p^n+1}, p \in (0,+\infty)$$ La serie converge para$p\in(1,+\infty)$. Aquí realmente no pude simplificar sistemáticamente los límites en cuestión, así que seguí con la intuición, aunque con las mismas conclusiones que antes: $$\lim_{n\to+\infty}a_n = \left \{ \begin{aligned} &0, && p > 1 \\ &\frac{1}2, && p = 1\\ &1, && p < 1 \end{aligned} \right. ,$$ lo que da como resultado que la serie diverge para$p \le 1$, y $$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n} = \left \{ \begin{aligned} &\frac{1}p, && p > 1 \\ &1, && p \le 1\\ \end{aligned} \right. ,$$ lo que produce que la serie converge solo para$p>1$.

Ejemplo 4:

El último, lo prometo.

$$\sum_{n=1}^{+\infty}(n+p)\left (\frac{p+1}{p^2+1} \right )^n, p \in (-1,+\infty)$$ Aquí los límites son: $$\lim_{n\to+\infty}a_n = \left \{ \begin{aligned} &0, && \frac{p^2+1}{p+1} > 1 &+\infty, \frac{p^2+1}{p+1} \le 1 \end{aligned} \right. ,$$ entonces la serie diverge para$p \in ((-\infty,-1)\cup[0,1]) \cap (-1,+\infty) = [0,1]$, y $$L = \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n} = \frac{p+1}{p^2+1}.$$ Como la serie converge para$L < 1$, obtenemos$p\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$. Ya que se da que$p>-1$, finalmente la serie converge para$p \in(-1,0)\cup(1,+\infty)$.