Variación y derivada funcional de una función compleja

He aprendido que para obtener la derivada funcional, debemos realizar la variación. La derivada funcional es lo que está al lado de la dirección en que se toma la variación. Por ejemplo para algunas funciones y funcionales reales:

$$F[n] = \int V(\vec{r}) n(\vec{r}) \ d \vec{r}$$ tenemos la variacion $$\delta F[n; f] = \frac{\partial}{\partial t} \int V(\vec{r}) (n(\vec{r}) + t f(\vec{r})) \ d \vec{r} \Big|_{ 0 } = \int V(\vec{r}) f(\vec{r}) \ d \vec{r}$$ Por lo tanto tenemos la derivada funcional $$\frac{\partial F}{\partial n} = V,$$ Pero, ¿cómo se extiende esto a funciones complejas? Quiero encontrar la variación (y también la derivada funcional) del siguiente funcional $$F[\psi,\psi^*] = \int \psi^* \psi \ d \vec{r}$$ Mi intento: $$\begin{align*} \delta F[\psi,\psi^*; h,h^*] &= \frac{\partial}{\partial t} \int (\psi^* + t h^*)^* (\psi + t h) \psi \ d \vec{r} \Big|_{ 0 } \\ &= \int \frac{\partial}{\partial t} (\psi + t h) (\psi + t h) \ d \vec{r} \Big|_{ 0 } = \int h \psi + \psi h \ d \vec{r} \end{align*}$$ Por lo tanto $$\frac{\delta F}{\delta \psi} = \psi.$$ Mi sensación es que esta es la respuesta incorrecta, debería obtener el conjugado de eso en su lugar. Para la otra derivada funcional debo obtener $$\frac{\delta F}{\delta \psi^*} = \psi,$$ de acuerdo con mis notas de clase, pero no hay un término de la forma$h^* \psi$dentro de la integral! Así que parece que no puedo conseguirlo. ¿Mi variación es incorrecta o algo más está mal? Puse una recompensa bastante alta en este porque siento que es una pregunta muy importante. Esperando una pronta aclaración.