Prueba variacional del teorema de Hellmann-Feynman

Utilizo la siguiente notación y definición para la (primera) variación de algunas funciones$E[\psi]$:

$$\begin{equation} \delta E[\psi][\delta\psi] := \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{E[\psi + \varepsilon \delta\psi] - E[\psi]}{\varepsilon}. \end{equation}$$ Para un hamiltoniano que depende de algún parámetro, $H(\lambda)$, que cumple la ecuación propia $H(\lambda) |\psi(\lambda)\rangle = E(\lambda) |\psi(\lambda)\rangle$, se puede demostrar fácilmente que $$\begin{equation} \frac{dE(\lambda)}{d\lambda} = \langle \psi(\lambda) | \frac{dH(\lambda)}{d\lambda} | \psi(\lambda) \rangle \end{equation}$$ que se llama el teorema de Hellmann-Feynman. Ahora bien, en química cuántica, a menudo se busca una aproximación de las verdaderas funciones propias haciendo que el funcional para el valor esperado de energía sea estacionario, $$\begin{equation} E[\psi] = \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \delta E[\psi][\delta \psi] = \frac{1}{\langle \psi | \psi \rangle}\left[ \langle \delta\psi | H - E[\psi] | \psi\rangle + \langle \psi | H - E[\psi] | \delta\psi\rangle \right] = 0 \end{equation}$$ para todas las variaciones $\delta\psi$en algún subespacio (llamado espacio variacional) del espacio completo de Hilbert. En este caso, a menudo se lee que el teorema de Hellmann-Feynman sigue siendo válido para las funciones de onda y energías aproximadas.

Desafortunadamente, tengo problemas para encontrar una prueba clara de esta declaración en los libros. Wikipedia intenta una prueba (sección "Prueba alternativa"), pero asume que la derivada funcional

$$\begin{equation} \frac{\delta E[\psi]}{\delta\psi} \end{equation}$$ existe, lo cual no es el caso debido a la antilinealidad en los vectores de sostén, lo que conduce a $$\begin{equation} \delta E[\psi][\alpha \cdot \delta \psi] \neq \alpha \cdot \delta E[\psi][ \delta \psi] \end{equation}$$ para complejo $\alpha$. ¿Alguien puede proporcionarme una justificación clara de por qué el teorema de Hellmann-Feynman funciona para funciones de onda variacionales?