Problema con el cálculo del tensor de curvatura de la esfera de dimensión nnn

Question

Problema con el cálculo del tensor de curvatura de la esfera de dimensión nnn

Anónimo

Estoy calculando el tensor de curvatura de Riemann, el tensor de curvatura de Ricci y el escalar de Ricci de la $n$ esfera

X_{0}^{2} + X_{1}^{2} + . . . . + X_{norte}^{2} = R^{2},

$x_0^2 + x_1^2 + ....+x_n^2=R^2,$ cuya métrica es

d s^{2} = R^{2} (d ϕ_{1}^{2} + pecado {ϕ_{1}}^{2} d ϕ_{1}^{2} + pecado {ϕ_{2}}^{2} pecado {ϕ_{1}}^{2} d ϕ_{2}^{2} + . . . . . .) .

$ds^2=R^2(d\phi_1^2 + \sin{\phi_1}^2 d\phi_1^2+\sin{\phi_2}^2\sin{\phi_1}^2 d\phi_2^2+......).$

Hice el mismo ejercicio para la esfera 2 y descubrí que la curvatura de Riemann con un índice reducido es proporcional al producto de dos $g \cdot g$ , y el tensor de Ricci a $g$ . Espero ver el mismo resultado para la esfera n dimensional.

Estoy usando la siguiente expresión que se puede encontrar en Schutz.

R_{α β m v} = \frac{1}{2} ({gramo}_{α v, β m} - {gramo}_{α m, β v} + {gramo}_{β m, α v} - {gramo}_{β v, α m}) .

$R_{\alpha \beta \mu \nu}=\frac{1}{2}(g_{\alpha \nu, \beta \mu}-g_{\alpha \mu, \beta \nu }+ g_{\beta \mu, \alpha \nu}-g_{\beta \nu, \alpha \mu}).$

Se puede ver claramente que sólo las derivadas de la forma $g_{\phi_p \phi_p, \phi_m \phi_n}$ dónde $m,n < p$ son distintos de cero. ¿Cómo demuestro que el tensor de curvatura de Riemann es proporcional al producto de los tensores métricos ? El tensor de Ricci es $R_{ij}=R^l_{ilj}=g^{lm}R_{milj}$ , como el tensor métrico es diagonal $m=l, e igualando el primer y el tercer índice en la expresión de la curvatura de RIemann, lo que haría que el primer y el tercer término fueran cero ya que las derivadas son cero según el argumento anterior, obtengo

R_{i j} = - \frac{1}{2} {gramo}^{i yo} ({gramo}_{yo yo, i j} + {gramo}_{i j, yo yo}) = - \frac{1}{2} {gramo}^{yo yo} {gramo}_{yo yo, i j} .

$R_{ij}=-\frac{1}{2}g^{il}(g_{ll,ij}+g_{ij,ll})=-\frac{1}{2}g^{ll}g_{ll,ij}.$

Estaba prediciendo, que del caso de 2 esferas para obtener un término proporcional al tensor métrico. (Para el caso de 2 esferas $R_{ij}=\frac{1}{R^2}R_{ij}$ ). ¿Dónde me estoy equivocando? ¿Cómo lo convierto en una forma que se reduce a 2 esferas al sustituir, $n =2$ .

La expresión escalar de Ricci es mucho más horrible, $R=g^{im}R_{mi}=g^{ii}R_{ii}$ . Expandí tontamente esto y obtuve una expresión terrible en $\cot{\phi}$ que no se puede resumir fácilmente, mientras que necesito un número inversamente proporcional a $R$ .

Cualquier ayuda es apreciada.

Además, (tal vez esto debería publicarse como una pregunta separada), ¿podría obtener los mismos tensores usando algún otro método, por ejemplo, tétradas? He oído hablar de esto, pero no sé mucho. Así que sería genial si alguien pudiera mostrarlo específicamente para este caso.

hijo de saturno

Debo informarle que la ecuación que está usando para el tensor de curvatura solo se cumple en coordenadas normales de Riemann y no en general. Debe utilizar la expresión con los símbolos de Christoffels.

Respuestas (1)

Problema con el cálculo del tensor de curvatura de la esfera de dimensión nnn

Debo informarle que la ecuación que está usando para el tensor de curvatura solo se cumple en coordenadas normales de Riemann y no en general. Debe utilizar la expresión con los símbolos de Christoffels.

Motl de Luboš · Answer 1

El cálculo directo de las derivadas no es tan difícil. Pero también se pueden ver rápidamente los valores del tensor de Riemann para una esfera, y formas simples similares, utilizando la definición del tensor de Riemann a través del transporte paralelo de vectores.

d V^{α} = R_{α β γ d} V^{β} d Σ^{γ d}

$\delta V^\alpha = R_{\alpha\beta\gamma\delta}V^\beta d\Sigma^{\gamma\delta}$ Alrededor de un punto de la esfera

S^{d}

$S^d$ , el transporte alrededor de un área dada por

d Σ^{γ δ}

$d\Sigma^{\gamma\delta}$ para valores fijos de los índices (base localmente ortonormal) le permite ver que todo esto está sucediendo en un

S^{2}

$S^2$ solo. Las otras dimensiones no se ven afectadas. Es por eso que obtienes

R_{α β γ δ}

$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ igual a

(1 / a^{2})

$(1/a^2)$ veces

g_{α γ} g_{β δ} - g_{α δ} g_{β γ}

$g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma}$ . Efectivamente, el par de índices antisimetrizados

α β

$\alpha\beta$ tiene que ser igual a la pareja

γ δ

$\gamma\delta$ . No asumí nada especial sobre el punto; todos los puntos de una esfera son igualmente buenos por una simetría. Entonces, el Ansatz para el tensor de Riemann debe cumplirse en todas partes.

Tenga en cuenta que se multiplica por $1/a^2$ , el inverso al cuadrado del radio de la esfera. Muchas de sus fórmulas lo omiten; además, estás usando un símbolo confuso $R$ para el radio que se parece al escalar de Ricci, una cosa diferente.

En $d=2$ , el tensor de Riemann solo tiene un componente independiente y la fórmula para el tensor de Riemann en términos del tensor métrico anterior en realidad se cumple para cualquier superficie si $1/a^2$ es reemplazado por $R/2$ . Tenga en cuenta que las dos esferas tienen (escalar de Ricci) $R=2/a^2$ . Además, el tensor de Ricci es $R_{ij}=Rg_{ij}/2$ en $d=2$ de modo que las ecuaciones de Einstein del vacío se obedezcan de forma idéntica.

Para $d=3$ , el tensor de Riemann tiene 3 componentes independientes, al igual que el tensor de Ricci, por lo que el tensor de Riemann se puede escribir en términos del tensor de Ricci. Eso tampoco es cierto para dimensiones más altas.

Gracias por la respuesta. Pero, por favor, ¿podría guiarme en cómo podría mostrar $R_{\alpha\beta\gamma\delta}= \frac{1}{a^2}(g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}-g_{\alpha\delta}g_{\beta\gamma})$ algebraicamente de mi expresión del tensor de Riemann, que tiene derivadas de segundo orden de $g$ ? No tengo idea, ¿cómo pueden desaparecer las derivadas para dar un producto de tensores métricos? ¿Debo evaluar las derivadas dobles y, por observación, escribirlas en términos del tensor métrico? (Pero a primera vista, no sé cómo se puede hacer esto).
@ramanujan_dirac Si diferencia senos, se convierten en cosenos, si vuelve a diferenciar, vuelve a convertirse en senos (y viceversa), entonces, con un poco de trigonometría, estoy seguro de que podrá extraer los componentes métricos.
Estimado @ramanujan_dirac, permítame respaldar lo que dice twistor y agregar una cosa más. Si realmente usa las fórmulas diferenciales para una métrica en particular, no obtendrá la expresión "general elegante" para el tensor de Riemann en términos del tensor métrico. Simplemente derivará los componentes individuales y podrá ver que la forma de estas funciones es la misma: puede verificar la identidad "numéricamente" (quiero decir analíticamente, pero de una manera que requiera observar funciones particulares que codifican los componentes), por asi decirlo.

Problema con el cálculo del tensor de curvatura de la esfera de dimensión nnn

Anónimo

hijo de saturno

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Motl de Luboš

usuario7757

twistor59

Motl de Luboš

Variación con respecto a RabcdRabcdR_{abcd}? Cómo calcular∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\parcial R}{\parcial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

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