Cálculo del tensor de Einstein para campo gravitatorio débil

Estoy estudiando Un primer curso de relatividad general (2ª ed.) de Bernard Schutz. Tengo algunas dificultades para derivar la Ec. (8.32) en P.193, la forma del tensor de Einstein para el campo gravitatorio débil, que es esencial para derivar la ecuación de la onda gravitatoria en la Ec. (9.1) de medida de Lorentz.

Noté que para elevar un índice, uno debe usar gramo m v ; este último se puede expandir usando la ecuación (8.12), gramo α β = η α β + h α β , con h α β siendo pequeño Por lo tanto, ignorando los términos de orden superior en h uno usa η m v para subir los índices.

Usando la ecuación (8.31), h α β = h ¯ α β − 1 2 η α β h ¯ y ecuación (8.29) h ¯ ≡ h ¯ λ λ . Un término típico que se utilizará en el cálculo del tensor de Riemann tiene la forma

h α β = h ¯ α β − 1 2 η α β h ¯ λ λ
h α β , m v = h ¯ α β , m v − 1 2 η α β h ¯ λ λ , m v
Al reordenar los índices, anoto un término usado en el cálculo más adelante
h m β , α m = h ¯ m β , α m − 1 2 η m β h ¯ λ λ , α m = h ¯ m β , α m − 1 2 h ¯ λ λ , α β

Ahora el tensor de Riemann dice

R α β m v = 1 2 ( h α v , β m + h β m , α v − h α m , β v − h β v , α m )
De donde se obtiene el tensor de Einstein
R α β = R m α m β = 1 2 ( h m β , α m + h α m , m β − h m m , α β − h α β , m m )
Sustituyendo términos individuales, se obtiene
R α β = 1 2 ( h ¯ m β , α m − 1 2 h ¯ λ λ , α β + h ¯ α m , m β − 1 2 h ¯ λ λ , α β − h ¯ m m , α β + 1 2 4 h ¯ λ λ , α β − h ¯ α β , m m + 1 2 η α β h ¯ λ λ , m m )
R α β = 1 2 ( h ¯ m β , α m + h ¯ α m , m β − h ¯ α β , m m + 1 2 η α β h ¯ λ λ , m m )

donde se hace uso del hecho 4 = η m m . Pero la expresión resultante solo coincide con tres términos en la ecuación (8.31), el último término es diferente y no desaparece en Lorentz Gauge, lo pensé pero simplemente no puedo encontrar el error. ¡Muchas gracias!

tal vez leí mal su pregunta, pero para mejorar sus posibilidades de obtener una respuesta, ¿consideraría realmente poner la forma completa de las ecuaciones de Schutz (8.31), etc., ya que las tiene a mano?
¡Hecho! Se suman las ecuaciones (8.31) y (8.12).
Yo de nuevo, dos cosas. ¿Leíste esto?: preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-six.pdf (o si no es esa página en particular, hojea las notas de Carroll, está ahí en alguna parte, mira el índice o el toc) y eq(9.1) sigue siendo, lo siento esto, ecuación (9.1) :)

Respuestas (2)

R α β = R m α m β no es el tensor de Einstein GRAMO α β , pero el tensor de Ricci. Obtienes el tensor de Einstein a través de

GRAMO α β = R α β − 1 2 gramo α β R ,
con R = R   α α siendo el escalar de Ricci.

En tu última ecuación para R α β , el término h ¯ m m , α β debe desaparecer en los cálculos. Luego, al calcular el tensor de Einstein en el indicador de Lorentz, obtendrá la ecuación de onda correcta para la perturbación métrica inversa de la traza.

Para mostrar los siguientes pasos: Tenemos el tensor de Ricci como escribiste como

R α β = 1 2 ( h ¯ m β , α m + h ¯ α m , m β − h ¯ α β , m m + 1 2 η α β h ¯ λ λ , m m )
El escalar de Ricci es
R = h ¯ m v , m v + 1 2 h ¯ λ λ , m m
El tensor de Einstein luego se evalúa como
GRAMO α β = 1 2 ( h ¯ m β , α m + h ¯ α m , m β − h ¯ α β , m m − η α β h ¯ m v , v m )
La imposición del ancho de vía de Lorentz h ¯ m v , m = 0 obtenemos
GRAMO α β = − 1 2 h ¯ α β , m m
por lo que la ecuación de onda es
h ¯ α β , m m = − dieciséis π GRAMO C 4 T α β

Muchas gracias por señalar el error. El término adicional fue un error tipográfico debido al copiar y pegar de las ecuaciones de látex, no estaba allí en mis notas. resto el 1 2 gramo α β R , y sigo sin obtener la respuesta correcta.
El escalar de Ricci se evalúa como
R = h ¯ m v , m v + 1 2 h ¯ λ λ , m m
Sustraer 1 2 gramo α β R de su expresión del tensor de Ricci e imponga el calibre de Lorentz y debería obtener la ecuación
h ¯ α β , m m = − dieciséis π GRAMO C 4 T α β
No sé exactamente cuál es el resultado en tu libro, pero esta es la ecuación de onda que deberías obtener.
¡Gracias! Lo tengo...

ingrese la descripción de la imagen aquíusted puede encontrar el detalle en el manuscrito

¡Bienvenidos a Física! Tenga en cuenta que este sitio tiene MathJax habilitado , por lo que puede escribir las ecuaciones usando un formato similar a Latex.
Y hace referencia a un manuscrito: ¿se refiere al libro en la pregunta o alguna otra referencia? Por favor, aclare.
@JonCuster: Creo que Kai quiere decir que los detalles están en la imagen
@KyleKanos: ese también fue otro pensamiento. Quizás Kai aclare. Gracias.
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