Tensor de Killing e identidad del tensor de Riemann

Sé que si tenemos un vector Killing , entonces es sencillo mostrar la identidad:

∇ a ∇ b k C = R C b a k k d

Ahora estoy tratando de mostrar la siguiente identidad para un ( 0 , 2 ) Tensor de matar :

∇ ( a ∇ b k C ) d = − R d ( a b mi k C ) mi

Sé que debería usar el hecho de que un tensor Killing k a b es simétrica y satisface ∇ ( a k b C ) = 0 .

He intentado escribir

( ∇ a ∇ b − ∇ b ∇ a ) k C d = R a b C mi k C mi + R a norte d mi k d mi
y tomando varias permutaciones sobre a, b y c, pero no he podido progresar mucho con esto y agradecería alguna información sobre esto.

También me preguntaba si tales identidades se generalizan. ¿Tenemos siempre una relación por un ( 0 , norte ) ¿Tensor de matanza que relaciona sus segundas derivadas con una relación algebraica con el tensor de Riemann?

Los cálculos y referencias proporcionados en este documento ( arxiv.org/abs/0907.5470 ) por Cook y Dray pueden ser útiles. Ver el teorema 1 en la página 4 en particular.
¿Estás seguro de que esta afirmación es cierta? ∇ ( a ∇ b k C d ) = ∇ a ∇ ( b k C d ) + ∇ b ∇ ( a k C d ) + ∇ C ∇ ( a k b d ) + ∇ d ∇ ( a k b C ) . Al matar la ecuación, cada término en RHS es un derivado de una función cero en todas partes, por lo tanto, LHS es 0. Entonces, parece que su LHS debería desaparecer de manera idéntica.
@bianchira ¡Sí, gracias por notarlo! La simetrización solo debe estar alrededor de a, b y c, lo he editado ahora.

Respuestas (1)

Primero necesitamos la ecuación:

(1) 2 ∇ [ a ∇ b ] k C d = R a b C mi k mi d + R a b d mi k C mi = 2 R a b ( C k d ) mi .
Tenemos:
R d ( b a mi k C ) mi = 1 3 ( R d b ( a mi k C ) mi + R d a ( b mi k C ) mi + R d C ( b mi k a ) mi ) = 1 3 ( ∇ [ d ∇ b ] k a C + ∇ [ d ∇ a ] k b C + ∇ [ a ∇ C ] k b a ) ,
donde usamos la ecuación (1) . Ahora expresamos algunos términos para que índice d se elimina de las derivadas covariantes usando ∇ ( a k b C ) = 0 , por lo que la expresión anterior se convierte en:
1 3 ! ( ∇ d ∇ b k a C + ∇ b ∇ a k d C + ∇ b ∇ C k a d + ∇ d ∇ a k b C + ∇ a ∇ b k d C + ∇ a ∇ C k d b + ∇ d ∇ C k b a + ∇ C ∇ b k d a + ∇ C ∇ a k b d ) = ∇ d ∇ ( a k b C ) + ∇ ( a ∇ b k C ) d ,
que prueba la identidad.

Con respecto a la pregunta sobre la generalización, una indicación de que es posible es que si k a es un vector Killing, se puede formar un tensor Killing escribiendo k a k b etc., y la inducción muestra que existe una ecuación que involucra derivadas covariantes dobles y tensores de Riemann.

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