Variación de cantidad de movimiento en el espacio de cantidad de movimiento para una partícula en una caja

Question

Variación de cantidad de movimiento en el espacio de cantidad de movimiento para una partícula en una caja

Brian Bi

Mi tarea me pide que calcule la función de onda espacial de impulso del estado propio de energía n de la partícula en un cuadrado infinito unidimensional y luego "demuestre que su resultado está de acuerdo con el principio de incertidumbre".

La función de onda espacial de impulso que obtuve es:

ϕ (pag) = norte \sqrt{\frac{π}{ℏ L^{3}}} \frac{{pag}^{2}}{{pag}^{2} - (norte π ℏ / L)^{2}} (1 - (- 1)^{norte} {mi}^{- i pag L / ℏ})

$\phi(p) = n\sqrt{\frac{\pi}{\hbar L^3}} \frac{p^2}{p^2-(n\pi\hbar/L)^2}(1-(-1)^n e^{-ipL/\hbar})$

con la correspondiente densidad de probabilidad

| ϕ (pag) |^{2} = \frac{2 π {norte}^{2}}{ℏ L^{3}} {(\frac{{pag}^{2}}{{pag}^{2} - (norte π ℏ / L)^{2}})}^{2} (1 - (- 1)^{norte} porque \frac{L}{ℏ} pag)

$|\phi(p)|^2 = \frac{2\pi n^2}{\hbar L^3} \left(\frac{p^2}{p^2 - (n\pi \hbar/L)^2}\right)^2 \left(1-(-1)^n \cos \frac{L}{\hbar}p\right)$

Dado que esto es extraño, es obvio que $\langle p \rangle = 0$ . Sin embargo, no puedo entender cómo hacer la integral. $\int_{-\infty}^\infty p^2 |\phi(p)|^2 \, dp$ para obtener $\langle p^2 \rangle$ , aunque podría calcular fácilmente $\langle p^2 \rangle$ usando la función de onda del espacio de posición. Tampoco pude hacer que Mathematica lo hiciera. ¿Debería decirle a mi profesor que no se pudo hacer como él quería?

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Variación de cantidad de movimiento en el espacio de cantidad de movimiento para una partícula en una caja

Trimok · Answer 1

Manténgase en el espacio de posición, con el $\phi(x)$ , porque el cálculo es mucho más simple, porque el $\phi(x)$ son $\sin$ funciones, consulte Wiki .

Recuerda que en el espacio de posiciones tenemos: $\hat P= - i \hbar \frac{\partial }{\partial x}$ y $\hat P^2 = - \hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial x^2}$

Así que si $\phi_n(x)$ es su función de onda normalizada, en su pozo cuadrado infinito entre $x=a$ y $x=b$ , tienes :

⟨ \hat{PAG} ⟩_{norte} = \int_{a}^{b} ϕ_{norte}^{*} (X) (- i ℏ \frac{\partial}{\partial X}) ϕ_{norte} (X)

$\langle\hat P\rangle_n = \int_a^b \phi_n^*(x) \left(- i \hbar \frac{\partial }{\partial x}\right) \phi_n(x)$

⟨ {\hat{PAG}}^{2} ⟩_{norte} = \int_{a}^{b} ϕ_{norte}^{*} (X) (- ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}) ϕ_{norte} (X)

$\langle\hat P^2\rangle_n = \int_a^b \phi_n^*(x) \left(- \hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\right) \phi_n(x)$

Con estas pautas, trate de encontrar la solución usted mismo, luego compárela con la solución.

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Brian Bi

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Trimok

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