Integración por partes para derivar d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

Question

Integración por partes para derivar d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

Apeiron

Estoy leyendo "Introducción a la mecánica cuántica" de David Griffiths y tengo problemas para entender parte de una derivación de $\frac{d\langle x\rangle }{dt}$ en el apartado 1.5 - Momentum - del texto.

El autor da EQN 1.29 como

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = \frac{i ℏ}{2 metro} \int_{- \infty}^{\infty} X \frac{\partial}{\partial X} [\frac{\partial Ψ}{\partial X} Ψ^{*} - \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} Ψ] d X

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = \frac{i \hbar}{2m} \int _{-\infty} ^{\infty} x \frac{\partial }{\partial x} \left[ \frac{\partial \Psi}{\partial x}\Psi^* - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi \right] dx$

Luego hace la integración por partes, diciendo como nota al pie,

Debajo del signo integral, entonces, puede quitar una derivada de un factor en un producto y pegarla en el otro; le costará un signo menos y obtendrá el término límite.

y obtiene EQN 1.30:

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = - \frac{i ℏ}{2 metro} \int_{- \infty}^{\infty} (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} - \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} Ψ) d X

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = -\frac{i\hbar}{2m} \int _{-\infty} ^{\infty} \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^* }{\partial x}\Psi \right) dx$

Repite una integración por partes para derivar 1.31:

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = - \frac{i ℏ}{metro} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} d X

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = -\frac{i\hbar}{m} \int _{-\infty} ^{\infty} \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} dx$

No estoy seguro de cómo esto es integración por partes. En todas las integraciones por partes que he hecho, se han obtenido dos términos. Menciona un segundo término diciendo:

Usé el hecho de que $\frac{\partial x}{\partial x} = 1$ , y desechó el término límite, sobre la base de que $\Psi$ va a cero en $\pm$ infinidad.

Vi esta ecuación publicada en Stack Exchange para una pregunta similar:

\int (\frac{\partial}{\partial X} F (X)) gramo (X) d X = \int F (X) (- \frac{\partial}{\partial X} gramo (X)) d X,

$\int\left(\frac{\partial}{\partial x}f(x)\right)\ g(x)\ \text dx=\int\ f(x)\left(-\frac{\partial}{\partial x}g(x)\right)\ \text dx,$

en ¿Cómo probar dp/dt = -dV/dx? Mecánica cuántica

¿Es esto cierto en general? ¿Cómo es esta integración por partes? ¿Por qué podemos desechar el otro término? ¿Cómo lleva la integración por partes a 1.31?

una mente curiosa

¡Él te dice por qué tiró el segundo término en tu segunda cita! el esta asumiendo que

lim_{x \to \pm \infty} ψ (x) = 0

$\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x) = 0$ , por lo que el término de frontera se evalúa como

0

$0$ . (Tenga en cuenta que esta suposición es una suposición adicional, no se sigue de

ψ

$\psi$ siendo integrable en cuadrado, lo que a menudo se afirma)

Apeiron

@ACuriousMind ¿Qué segundo término? La ecuación que da la representación simbólica de "quitar una derivada de un factor..." no tiene un segundo término. No estoy seguro de qué término dejó caer.

iharob

Es un requisito que

lim_{x \to \pm \infty} ψ (x) = 0

$\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\psi(x) = 0$ , debe estar en el libro. Este es un requisito porque la función de onda no puede divergir para ser una densidad de probabilidad válida que represente una partícula que existe, por lo que tiene que estar en algún lugar, con densidad de probabilidad

ψ (x) ψ^{*} (x)

$\psi(x)\psi^{*}(x)$ que debe ser un número real finito.

Apeiron

La parte que no entiendo todavía no es que cualquier segundo término se vuelve cero, es cómo funcionaron sus integraciones por partes. Cuál es u,v,du,dv y cuál es el segundo término par. Vi una ecuación que da su relación, pero no entiendo qué es, de dónde viene y si es cierto en general.

Alan

Para ∫ u dv = uv - ∫ v du, su u = x y su v = ψ'ψ* - ψ*'ψ y el término uv desaparece.

Respuestas (2)

Integración por partes para derivar d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

¡Él te dice por qué tiró el segundo término en tu segunda cita! el esta asumiendo que $\lim_{x\to\pm\infty}\psi(x) = 0$ , por lo que el término de frontera se evalúa como $0$ . (Tenga en cuenta que esta suposición es una suposición adicional, no se sigue de $\psi$ siendo integrable en cuadrado, lo que a menudo se afirma)
@ACuriousMind ¿Qué segundo término? La ecuación que da la representación simbólica de "quitar una derivada de un factor..." no tiene un segundo término. No estoy seguro de qué término dejó caer.
Es un requisito que $\lim_{x \rightarrow \pm\infty}\psi(x) = 0$ , debe estar en el libro. Este es un requisito porque la función de onda no puede divergir para ser una densidad de probabilidad válida que represente una partícula que existe, por lo que tiene que estar en algún lugar, con densidad de probabilidad $\psi(x)\psi^{*}(x)$ que debe ser un número real finito.
La parte que no entiendo todavía no es que cualquier segundo término se vuelve cero, es cómo funcionaron sus integraciones por partes. Cuál es u,v,du,dv y cuál es el segundo término par. Vi una ecuación que da su relación, pero no entiendo qué es, de dónde viene y si es cierto en general.
Para ∫ u dv = uv - ∫ v du, su u = x y su v = ψ'ψ* - ψ*'ψ y el término uv desaparece.

Sam · Answer 1

Tal vez sea un poco más claro si acorta el contenido de los corchetes (y también dejemos caer las constantes):

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} \propto \int_{- \infty}^{\infty} X \frac{\partial}{\partial X} [\dots] d X

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} \propto \int _{-\infty} ^{\infty} x \frac{\partial }{\partial x} \left[ \ldots\right] dx$

= \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial X} (X [\dots]) d X - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial X}{\partial X} [\dots] d X

$= \int _{-\infty} ^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left(x \left[ \ldots\right] \right)dx - \int _{-\infty} ^{\infty} \frac{\partial x}{\partial x} \left[ \ldots\right] dx$

El primer término es el término límite, que como discutiste con ACuriousMind, va a cero. Más importante aún, la derivada de $[\ldots]$ se ha desplazado a $x$ en el segundo termino

donde por supuesto $\frac{\partial x}{\partial x} = 1$

Y de ahí el resultado:

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = - \frac{i ℏ}{2 metro} \int_{- \infty}^{\infty} (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} - \frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} Ψ) d X

$\frac{d\langle x\rangle }{dt} = -\frac{i\hbar}{2m} \int _{-\infty} ^{\infty} \left( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^* }{\partial x}\Psi \right) dx$

Editar:

A la última pregunta: No, esa afirmación no es cierta en general. Solo a veces se nos permite descartar el término límite (depende de la situación física, no de las matemáticas).

¿Recuerdas cómo se produce la integración por partes? De la regla del producto:

\frac{d (F gramo)}{d X} = \frac{d F}{d X} gramo + F \frac{d gramo}{d X}

$\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx}g + f\frac{dg}{dx}$

Luego reorganizar:

\frac{d F}{d X} gramo = \frac{d F gramo}{d X} - F \frac{d gramo}{d X}

$\frac{df}{dx}g = \frac{dfg}{dx} - f\frac{dg}{dx}$

Luego integra ambos lados:

\int_{X_{0}}^{X_{1}} \frac{d F}{d X} gramo d X = \int_{X_{0}}^{X_{1}} \frac{d (F gramo)}{d X} d X - \int_{X_{0}}^{X_{1}} F \frac{d gramo}{d X} d X

$\int_{x_0}^{x_1}\frac{df}{dx} g dx = \int_{x_0}^{x_1}\frac{d(fg)}{dx}dx - \int_{x_0}^{x_1} f\frac{dg}{dx}dx$

Donde la derivada y la integral en el primer término de la RHS se cancelan para convertirse en

\int_{X_{0}}^{X_{1}} \frac{d F}{d X} gramo d X = F gramo |_{X_{0}}^{X_{1}} - \int_{X_{0}}^{X_{1}} F \frac{d gramo}{d X} d X

$\int_{x_0}^{x_1}\frac{df}{dx} g dx = fg |_{x_0}^{x_1}- \int_{x_0}^{x_1} f\frac{dg}{dx}dx$

Lo que estamos diciendo es que sabemos $fg$ en $x_0$ y $x_1$ (es decir, los límites) es cero, por lo que eliminamos ese término. Entonces el resultado neto es que cambiamos la derivada de f a g, a expensas de un cambio de signo.

Gracias. Entiendo mucho mejor ahora. Esa relación se puede derivar de la regla del producto. La ecuación en mi pregunta generalmente no es válida, excepto cuando fg -> 0 en los límites de la integral.
@Apeiron Me alegro de que haya ayudado :) (y sí, donde dije regla de cadena me refería a regla de producto).

RC Drost · Answer 2

el derivado de $x f(x)$ es $x f'(x) + f(x)$ , y aquí estás integrando $k \int_{-\infty}^\infty dx ~ x ~ f'(x)$ por alguna constante $k$ , y alguna función complicada $f$ . Cuando integras esto por partes, elevas $f' dx$ y más bajo $x$ encontrar:

k \int_{- \infty}^{\infty} d X X F^{'} (X) = k {[X F (X)]}_{- \infty}^{\infty} - k \int_{- \infty}^{\infty} d X F (X) .

$k \int_{-\infty}^\infty dx ~ x ~ f'(x) = k \left[x ~f(x)\right]_{-\infty}^{~\infty} - k \int_{-\infty}^\infty dx ~ f(x).$ Griffiths simplemente agrega que espera

f (x)

$f(x)$ ir a cero más rápido que

1 / x

$1/x$ , ya que eso tendería a dificultar la normalización del sistema. Entonces, el primer término tiende a cero en ambos límites y solo te queda el segundo término.

Integración por partes para derivar d⟨x⟩/dtd⟨x⟩/dtd\langle x \rangle / dt

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RC Drost

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