Recuperación de QM de QFT

Question

Recuperación de QM de QFT

usuario56963

Lectura de notas de conferencias de David Tong sobre QFT.

En las páginas 43-44, recupera QM de QFT. Vea el siguiente enlace:

Primero, los operadores de momento y posición se definen en términos de "integrales" y después de considerar los estados que se definen nuevamente en términos de integrales, vemos que los estados ket son de hecho estados propios y, por lo tanto, los valores propios son 3 vectores de posición y momento.

Lo que no me queda claro son los pasos intermedios de los cálculos que no se muestran en las notas de clase, en particular, el cálculo de integrales con operadores como su integrando, para obtener los resultados deseados.

ana v

Carro antes que el caballo en mi opinión, ya que QFT se basa en operadores que actúan sobre un estado fundamental, y ese estado fundamental tiene que ser una solución de una ecuación mecánica cuántica, Dirac o KG. Preferiría titularlo "probando la consistencia" con el marco dinámico cuántico subyacente

qmecanico

Comentario a la publicación (v2): Sería bueno si OP (¿o alguien más?) pudiera tratar de hacer que la formulación de la pregunta sea independiente, de modo que uno no tenga que abrir el enlace para comprender la pregunta.

Respuestas (1)

Recuperación de QM de QFT

Carro antes que el caballo en mi opinión, ya que QFT se basa en operadores que actúan sobre un estado fundamental, y ese estado fundamental tiene que ser una solución de una ecuación mecánica cuántica, Dirac o KG. Preferiría titularlo "probando la consistencia" con el marco dinámico cuántico subyacente
Comentario a la publicación (v2): Sería bueno si OP (¿o alguien más?) pudiera tratar de hacer que la formulación de la pregunta sea independiente, de modo que uno no tenga que abrir el enlace para comprender la pregunta.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

OP está preguntando cómo probar $\boldsymbol P|\boldsymbol p\rangle=\boldsymbol p|\boldsymbol p\rangle$ y $\boldsymbol X|\boldsymbol x\rangle=\boldsymbol x|\boldsymbol x\rangle$ dónde $|\boldsymbol p\rangle$ es un estado de una partícula escalar (libre), y $\boldsymbol P$ es el operador de cantidad de movimiento; $|\boldsymbol x\rangle$ es un "paquete de ondas" centrado en $\boldsymbol x$ (definido a continuación) y $\boldsymbol X$ es el "operador de posición" (también definido a continuación).

PARTE I

Dejar

PAG \equiv \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} pag a_{pag}^{†} a_{pag}

$\boldsymbol P \equiv\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\, \boldsymbol p\ a_{\boldsymbol p}^\dagger a_{\boldsymbol p}$

Usando $a_{\boldsymbol p}|0\rangle=0$ , es fácil ver que $\boldsymbol P|0\rangle=0$ , que será útil en un momento.

Los CCR son

[a_{pag}, a_{q}^{†}] = (2 π)^{3} d (pag - q)

$[a_{\boldsymbol p},a^\dagger_{\boldsymbol q}]=(2\pi)^3\delta(\boldsymbol p-\boldsymbol q)$ (ver página 30, ecuación 2.20)

Con esto, tenga en cuenta que

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} [PAG, a_{q}^{†}] & = \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} pag [a_{pag}^{†} a_{pag}, a_{q}^{†}] = \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} pag a_{pag}^{†} [a_{pag}, a_{q}^{†}] = \\ = \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} pag (2 π)^{3} d (pag - q) a_{pag}^{†} = q a_{q}^{†} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} {}[\boldsymbol P,a^\dagger_{\boldsymbol q}]&= \int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\, \boldsymbol p\ [a_{\boldsymbol p}^\dagger a_{\boldsymbol p},a^\dagger_{\boldsymbol q}]= \int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\, \boldsymbol p\ a_{\boldsymbol p}^\dagger[a_{\boldsymbol p},a^\dagger _{\boldsymbol q}]=\\ &=\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\, \boldsymbol p\ (2\pi)^3\delta(\boldsymbol p-\boldsymbol q)a_{\boldsymbol p}^\dagger=\boldsymbol q\,a_{\boldsymbol q}^\dagger \end{aligned}\tag1 \end{equation}$

Dejar $|\boldsymbol p\rangle\equiv a^\dagger_{\boldsymbol p}|0\rangle$ . Usando $(1)$ , junto con el hecho $\boldsymbol P|0\rangle=0$ , es fácil ver que

PAG | pag ⟩ = PAG a_{pag}^{†} | 0 ⟩ = [PAG, a_{pag}^{†}] | 0 ⟩ = pag a_{pag}^{†} | 0 ⟩ \equiv pag | pag ⟩

$\boldsymbol P|\boldsymbol p\rangle=\boldsymbol Pa_\boldsymbol p^\dagger|0\rangle=\boldsymbol [\boldsymbol P,a_\boldsymbol p^\dagger]|0\rangle=\boldsymbol p a_{\boldsymbol p}^\dagger|0\rangle\equiv \boldsymbol p|\boldsymbol p\rangle$ según sea necesario.

PARTE II

Dejar

ψ^{†} (X) \equiv \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} a_{pag}^{†} {mi}^{- i pag \cdot X}

$\psi^\dagger(\boldsymbol x) \equiv\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\,a_{\boldsymbol p}^\dagger \mathrm e^{-i\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x}$

Usando $a_{\boldsymbol p}|0\rangle=0$ , es fácil ver que $\psi(\boldsymbol x)|0\rangle=0$ , que será útil en un momento.

Tenga en cuenta que

[ψ^{†} (X), a_{q}^{†}] = 0

$[\psi^\dagger(\boldsymbol x),a_{\boldsymbol q}^\dagger]=0$ y

\begin{aligned} [ψ^{†} (X), a_{q}] & = \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{- i pag \cdot X} [a_{pag}^{†}, a_{q}] = \\ = - \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{- i pag \cdot X} (2 π)^{3} d (pag - q) \\ = - {mi}^{- i q \cdot X} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} {}[\psi^\dagger(\boldsymbol x),a_{\boldsymbol q}]&=\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\,\mathrm e^{-i\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x}[a_{\boldsymbol p}^\dagger ,a_{\boldsymbol q}]=\\ &=-\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\,\mathrm e^{-i\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x}(2\pi)^3\delta(\boldsymbol p-\boldsymbol q)\\ &=-\mathrm e^{-i\boldsymbol q\cdot\boldsymbol x} \end{aligned} \end{equation}$

Estas relaciones implican que

[ψ^{†} (X), ψ^{†} (y)] = 0

$[\psi^\dagger(\boldsymbol x),\psi^\dagger(\boldsymbol y)]=0$ y

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} [ψ^{†} (X), ψ (y)] & = \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{i pag \cdot y} [ψ^{†} (X), a_{pag}] \\ = - \int \frac{d pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{i pag \cdot y} {mi}^{- i pag \cdot X} = - d (X - y) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} {}[\psi^\dagger(\boldsymbol x),\psi(\boldsymbol y)]&=\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\,\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot\boldsymbol y}[\psi^\dagger(\boldsymbol x),a_{\boldsymbol p}]\\ &=-\int \frac{\mathrm d\boldsymbol p}{(2\pi)^3}\,\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot\boldsymbol y}\mathrm e^{-i\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x}=-\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y) \end{aligned}\tag2 \end{equation}$

Dejar

X = \int d X X ψ^{†} (X) ψ (X)

$\boldsymbol X=\int\mathrm d\boldsymbol x\ \boldsymbol x\ \psi^\dagger(\boldsymbol x)\psi(\boldsymbol x)$

Primero, tenga en cuenta que $\boldsymbol X|0\rangle=0$ , lo cual es trivial de probar usando $\psi(\boldsymbol x)|0\rangle=0$ .

A continuación, utilizando $(2)$ , es fácil ver que

\begin{aligned} [X, ψ^{†} (y)] & = \int d X X [ψ^{†} (X) ψ (X), ψ^{†} (y)] \\ = \int d X X ψ^{†} (X) [ψ (X), ψ^{†} (y)] \\ = \int d X X ψ^{†} (X) d (X - y) = y ψ^{†} (y) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} {}[\boldsymbol X,\psi^\dagger(\boldsymbol y)]&=\int\mathrm d\boldsymbol x\ \boldsymbol x\ [\psi^\dagger(\boldsymbol x)\psi(\boldsymbol x),\psi^\dagger(\boldsymbol y)]\\ &=\int\mathrm d\boldsymbol x\ \boldsymbol x\ \psi^\dagger(\boldsymbol x)[\psi(\boldsymbol x),\psi^\dagger(\boldsymbol y)]\\ &=\int\mathrm d\boldsymbol x\ \boldsymbol x\ \psi^\dagger(\boldsymbol x)\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)=\boldsymbol y\,\psi^\dagger(\boldsymbol y) \end{aligned} \end{equation}$

Finalmente, usando la relación anterior, junto con $\boldsymbol X|0\rangle=0$ , es fácil ver que

X | X ⟩ = X ψ^{†} (X) | 0 ⟩ = [X, ψ^{†} (X)] | 0 ⟩ = X ψ^{†} (X) | 0 ⟩ \equiv X | X ⟩

$\boldsymbol X|\boldsymbol x\rangle=\boldsymbol X\psi^\dagger(\boldsymbol x)|0\rangle=[\boldsymbol X,\psi^\dagger(\boldsymbol x)]|0\rangle=\boldsymbol x\,\psi^\dagger(\boldsymbol x)|0\rangle\equiv\boldsymbol x|\boldsymbol x\rangle$ según sea necesario.

\begin{matrix} ◻ \end{matrix}

$\tag*{$\square$}$

Recuperación de QM de QFT

usuario56963

ana v

qmecanico

Respuestas (1)

AccidentalFourierTransformar

Derivación del hamiltoniano de un solo cuerpo en QFT

Evaluación de los valores esperados

La imagen de Heisenberg sobre operadores de campos complejos

Operadores cuánticos: una identidad

Traducción espacial de operadores, estados y densidades de partículas

Conjugado hermitiano del operador diferencial

Hace ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle para todo |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implica que A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

Cálculo de ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle y ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle para la función de onda [cerrado]

Ayuda para simplificar una ecuación de conmutador