¿Los operadores hermitianos conmutantes corresponden a observables compatibles?

Esta pregunta concierne más a las Matemáticas que a la Física, por lo que debe manejarse con rigurosidad para evitar generar aún más confusión (personalmente, encuentro bastante confusa esta página Conjunto Completo de Observables Conmutadores ya que trata el caso de dimensión finita en las pruebas y supone que las declaraciones son válidas para el caso de dimensión infinita, donde en cambio las cosas son mucho más sutiles).

En primer lugar, compatibilidad de dos observables representados por un par de operadores (generalmente ilimitados) autoadjuntos (no solo hermitianos o simétricos)$A: D(A) \to H$y$B:D(B) \to H$en un espacio de Hilbert (generalmente de dimensión infinita)$H$significa que sus medidas con valor de proyección conmutan .

En otras palabras, si nos centramos en las descomposiciones espectrales de los operadores

$$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP(\lambda)$$ y $$B = \int_{\sigma(B)} \lambda dQ(\lambda)$$ debe ser $$P_EQ_F=Q_FP_E\quad \mbox{for all Borel measurable sets $E,F \subset \mathbb{R}$. }$$ La compatibilidad es el enunciado matemático equivalente al enunciado físico de que los observables pueden medirse simultáneamente .

Si al menos uno, diga$A$, de$A$y$B$está acotado (de modo que su dominio coincida con todo el espacio de Hilbert), la compatibilidad es equivalente a la conmutatividad

$$AB\psi = BA\psi \quad \mbox{for every $\psi \in D(B)$.}$$ cuando ambos$A$y$B$son ilimitados (lo que significa físicamente que los resultados de sus mediciones pueden ser arbitrariamente grandes) la conmutatividad en cada dominio invariante común no es equivalente a la compatibilidad. Hay contraejemplos famosos debido a Nelson.

Finalmente, la compatibilidad no es en modo alguno transitiva, y esta es una de las características más interesantes de la teoría cuántica. Da lugar a varios teoremas de no-go con respecto a las posibles interpretaciones clásicas en términos de variables ocultas (piense en el teorema de Kochen-Specker, por ejemplo).

Esto se conoce como el teorema de compatibilidad. La declaración, así como una prueba, se pueden encontrar en Wikipedia:

Conjunto completo de observables de desplazamiento

Sin embargo, como dice Griffiths en su libro sobre Mecánica Cuántica (capítulo 3, el del formalismo; subsección Funciones propias de un operador hermitiano ), el hecho de que las funciones propias de un operador observable sean completas (en el sentido QM, es decir, que formen una base de el espacio de Hilbert en el que se define este operador) es solo un axioma . Es comprobable en algunos casos, pero no en general.

Por lo tanto, supongo que esta es una suposición oculta en el teorema citado anteriormente, a saber, que al menos uno de los operadores de conmutación tiene un conjunto completo de funciones propias.

Si desea saber más acerca de cuándo se puede estar seguro de encontrar una base de un operador, hay una pregunta abierta al respecto:

https://math.stackexchange.com/questions/1074918/why-does-the-set-of-an-hermitian-operators-eigenfunctions-spans-the-functions

La respuesta corta es el teorema espectral .