¿Cómo [A,B]=0[A,B]=0[A,B]=0 implica la posibilidad de medir los valores propios correspondientes simultáneamente?

Suponer que$\hat A$y$\hat B$tienen los estados propios comunes$\psi_{A_i,B_j}$, es decir

$$\hat A\psi_{A_i,B_j}=A_i\psi_{A_i,B_j}$$ $$\hat B\psi_{A_i,B_j}=B_j\psi_{A_i,B_j},$$ dónde $A_i$y $B_j$son los valores propios respectivos. De las ecuaciones anteriores tenemos $$\hat B\hat A\psi_{A_i,B_j}=A_i\hat B\psi_{A_i,B_j}=A_iB_j\psi_{A_i,B_j}$$ $$\hat A\hat B\psi_{A_i,B_j}=B_j\hat A\psi_{A_i,B_j}=B_jA_i\psi_{A_i,B_j}=A_iB_j\psi_{A_i,B_j},$$ entonces restando estos da: $$[\hat A,\hat B]\psi_{A_i,B_j}=0.$$ Esto significa que dos operadores con el mismo conjunto de estados propios deben conmutar .

La declaración anterior significa que puede medir simultáneamente los valores propios$A_i$y$B_j$. Es decir, puede medir primero$\langle\hat A\rangle$(y encontrar$A_i$) y luego medir$\langle \hat B\rangle$(y encontrar$B_j$) o viceversa. No importa qué cantidad física mida primero.

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Debido al comentario crucial de @WillO, explicaré el procedimiento inverso.

Suponer que$[\hat A,\hat B]=0$, tenemos que demostrar que tienen los mismos estados propios. Dejar

$$\hat A\psi_{A_i}=A_i\psi_{A_i}\qquad \Rightarrow\qquad \hat B\hat A\psi_{A_i}=\hat B(A_i\psi_{A_i})=A_i\hat B\psi_{A_i}\equiv A_i\phi .$$ Ahora, debido a la desaparición del conmutador tenemos que $$\hat B\hat A\psi_{A_i}=\hat A\hat B\psi_{A_i}=\hat A\phi$$ De la RHS de las últimas ecuaciones, tenemos que $$\hat A\phi=A_i\phi,$$ significa que $\phi$es también un estado propio de $\hat A$con valor propio $A_i$. Esto podría suceder por las siguientes razones:

1. $\phi=c\psi_{A_i}$, con$c$una constante. Por lo tanto, los operadores conmutativos tienen estados propios simultáneos.
2. $\phi\neq c\psi_{A_i}$. En este caso el operador$\hat A$debe tener estados propios degenerados, a saber$\phi$y$\psi_{A_i}$. Incluso en este caso, los estados propios no degenerados de$\hat A$son simultáneamente estados propios de$\hat B$.

Si dos operadores conmutan, tienen funciones propias simultáneas, es decir, las mismas funciones son funciones propias de ambas funciones.

Si además invoca la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la usa junto con la formulación de varianza de cantidades físicas en QM , puede establecer fácilmente que el producto de incertidumbre de dos operadores$\hat A$y$\hat B$, obedece:

$$( \sigma_A \ \sigma_B )^2 \geq \left( \frac{\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle}{2i} \right)^2$$

Esto se llama Principio de Incertidumbre Generalizado (Ver, por ejemplo, Griffiths, QM 2e/d sección 3.5 para una derivación detallada).

(O Pág. 108, aquí , en una versión anterior).

El espíritu detrás de esa afirmación es el siguiente: todos los pares que no conmutan tienen sus respectivos principios de incertidumbre definidos, es decir, no son determinables simultáneamente, mientras que los que conmutan no tienen ningún producto de incertidumbre aplicable a ellos. Por lo tanto, los valores propios de$\hat A$y$\hat B$, (con respecto a sus funciones propias simultáneas), pueden determinarse "simultáneamente".