¿Por qué los valores propios de la energía nunca dependen de la coordenada de posición xxx?

El hamiltoniano de una partícula en una energía potencial externa$V(x)$Se puede escribir como

$$H = -\frac{h^2}{2m} \nabla^2 + V(x)$$ entonces, de hecho, el operador de energía depende de la coordenada de posición.

Debe decirse, sin embargo, que una función de onda$\psi(x)$con energía definida$E$satisface

$$H \psi(x) = E \psi(x)$$ dónde$E$es simplemente un número constante. Los valores propios son, por definición, escalares. Sin embargo , dependen de los parámetros de la función de onda. Entonces, por ejemplo, si tenemos una colección de funciones de onda$\psi_i(x)$, dónde$i$es solo una etiqueta, entonces podemos escribir $$H \psi_i(x) = E_i \psi_i(x).$$ Así que aquí vemos que la energía$E_i$, por supuesto, depende de qué función de onda$\psi_i(x)$estamos hablando, es decir, depende de la etiqueta$i$.

Es exactamente lo mismo que tener una matriz.$A$y una base de vectores propios$v_i$, que satisfacen

$$A v_i = \lambda_i v_i.$$ El$\lambda_i$son constantes, en el sentido de que son escalares que se multiplican$v_i$, pero obviamente dependen de$i$!

Si$V(x) = 0$, entonces podemos etiquetar las funciones de onda$\psi_k(x)$con el vector$k$como

$$\psi_k(x) = e^{- i k \cdot x}.$$ Como puedes ver,$k$es realmente una etiqueta , que etiqueta diferentes estados$\psi_k(x)$. entonces tenemos $$H \psi_k(x) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi_k(x)$$ entonces $$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$$ Por favor informa eso$E_k$verdaderamente es una constante, porque solo se multiplica$\psi_k(x)$como un escalar, pero depende del parámetro $k$, que etiqueta de qué estado está hablando.

Editar: Prueba: Para$E$a "depender" del valor propio del operador$\hat x$, los estados de energía definidos tendrían que ser ellos mismos autoestados de la$\hat x$operador. Estos son dados por los estados

$$\psi_{x_0}(x) = \delta(x_0 - x)$$ dónde $$\hat x \psi_{x_0} (x) = x_0 \psi_{x_0}.$$

Si estos estados fueran vectores propios de ambos$\hat x$y$\hat H$, entonces$(\hat H \hat x - \hat x \hat H) \psi_{x_0}(x) = 0$. Porque el$\psi_{x_0}(x)$comprende una base completa de estados, entonces esto prueba que$[\hat{H},\hat{x}]=0$. Por lo tanto$E$no puede depender de los valores propios de$\hat x$a menos que$[\hat{H},\hat{x}]=0$. QED.

Suponga que tiene un estado propio de$H$,$\left|\psi\right\rangle$de energía definida$E_0$. Esto significa que la función de onda en$E$-representación es,*

$$\left\langle E\left|\psi\right.\right\rangle =\delta\left(E,E_{0}\right)$$ por donde$\delta\left(E,E_{0}\right)$Quiero decir$\delta\left(E-E_{0}\right)$si el espectro es continuo, o$\delta_{E,E_{0}}$, en caso de que sea discreto. Usando dos veces la relación de cierre --una vez en$x$-representación, y una vez en$E$-representación, $$I=\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=\int dE\left|E\right\rangle \left\langle E\right|$$ obtenemos, $$\left|\psi\right\rangle =\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\left|\psi\right.\right\rangle =$$ $$=\int dx\int dE\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E\right.\right\rangle \left\langle E\left|\psi\right.\right\rangle =$$ $$=\int dx\int dE\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E\right.\right\rangle \delta\left(E,E_{0}\right)=$$ $$=\int dx\left|x\right\rangle \left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle$$ Lo que nos dice esta identidad es que cuando tenemos un vector propio del hamiltoniano con un valor definido de$E$(constante, sí, pero ¿constante con respecto a qué?), todos los valores posibles de $x$ están integrados en él de alguna manera, en el caso más general en el que$x$y$H$no conmutar

Ahora, supongamos que el hamiltoniano fuera diagonal en el $x$- representación . Que es lo que pareces estar sugiriendo como una posibilidad. Entonces, y solo entonces --algo que rara vez sucede--,

$$\left\langle x\left|H\right|x'\right\rangle =E\left(x\right)\delta\left(x-x'\right)$$ $$E_{0}=\int dx\int dx'\left\langle E_{0}\left|x\right.\right\rangle E\left(x\right)\delta\left(x-x'\right)\left\langle x'\left|E_{0}\right.\right\rangle =$$ $$=\int dx\left\langle E_{0}\left|x\right.\right\rangle E\left(x\right)\left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle =$$ $$=\int dxE\left(x\right)\left|\left\langle x\left|E_{0}\right.\right\rangle \right|^{2}$$ Habría un solo valor de$x$(decir,$x_{0}$) que le daría un producto escalar distinto de cero. Y luego, $$E_{0}=E\left(x_{0}\right)$$ *Estoy asumiendo que$\left\langle E\left|E\right.\right\rangle =1$, así que estoy siendo algo arrogante allí. Espero que me perdones.