¿Significa algo si el conmutador de un operador con el hamiltoniano es igual al hamiltoniano?

¿Significa esto que el operador$\hat O$(un observable) es especial de alguna manera?

Creo que significa que no existe tal$\hat O$.

Si$\hat O$corresponde a un observable, requerimos que los autovalores sean reales.

Dejar$|o\rangle$ser un autojuego de$\hat O$con valor propio real$o$:

$$\hat O |o\rangle = o |o\rangle$$

Ahora considere lo siguiente

$$\hat O \hat H |o\rangle = (\hat H \hat O - [\hat H, \hat O])|o\rangle = \hat H o|o\rangle + 2i\hbar \hat H |o\rangle = (o + 2i\hbar)\hat H |o\rangle$$

De este modo,$\hat H |o\rangle$es un autojuego de$\hat O$con valor propio complejo$(o + 2i\hbar)$en contradicción con el requisito de que los valores propios de$\hat O$son reales _

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ $\newcommand{bra}[1]{\left< #1 \right|}$ $\newcommand{bk}[2]{\left< #1 | #2 \right>}$ $\newcommand{bok}[3]{\left< #1| #2 |#3\right>}$

Básicamente significa que todos los estados propios de energía tienen un valor propio de energía cero. UPS...

Dejar$\left| \psi \right>$sea ​​un estado propio de energía normalizado con valor propio de energía$E_\psi$.

$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi}=\bok{\psi}{HO-OH}{\psi}=E_\psi \left\{ \bok{\psi}{O}{\psi} - \bok{\psi}{O}{\psi}\right\}=0$$ Por otro lado:

$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi} = \bok{\psi}{2i\hbar H}{\psi} = 2i\hbar E_\psi = 0 \quad \forall \left| \psi \right>$$

$$\implies E_\psi=0 \quad \forall \left| \psi \right>$$

Supongamos que el grupo espacio-tiempo incluye dilataciones que expanden o contraen el espacio. puntos en el espacio$x^{i}\in V_{3}$transforma bajo una pequeña dilatación$\epsilon$cerca de la identidad como,

$$\begin{equation} x'^{i}=x^{i}+\epsilon x^{i} \ . \end{equation}$$ El cambio en las coordenadas es, $$\begin{equation} \frac{d x^{i}}{d\epsilon}=x^{i} \end{equation}$$ En la formulación hamiltoniana, el generador de dilataciones será alguna función fase-espacio $O$tal que el PB, $$\begin{equation} \frac{dx^{i}}{d\epsilon}=[x^{i},O]_{PB}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k}}\frac{\partial O}{\partial p^{k}}-\frac{\partial x^{i}}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=\frac{\partial O}{\partial p^{i}}=x^{i} \end{equation}$$ Integrando, da la función de espacio de fase como, $$\begin{equation} O=p^{i}x^{i} \ . \end{equation}$$ Si el grupo espacio-tiempo es la relatividad galileana, el hamiltoniano es, $$\begin{equation} H=\frac{p^{i}p^{i}}{2m} \ . \end{equation}$$ El PB de interés es entonces, $$\begin{equation} [H,O]_{PB}=-\frac{\partial H}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=-\frac{p^{k}p^{k}}{m}=-2H \ . \end{equation}$$ Ahora pase a la mecánica cuántica reemplazando las funciones espaciales de fase con operadores, $$\begin{equation} [\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H} \end{equation}$$ Esto recupera el conmutador en la pregunta y muestra que tiene el significado de una dilatación del espacio-tiempo galileano.

Las otras respuestas afirman que$\hat{O}$no es hermitiano o que no existe. Sin embargo,$\hat{O}$debe existir y ser hermitiano porque es el generador de dilataciones en el espacio-tiempo afín y todos los espacios afines -aquellos con una noción de paralelismo- tienen dilataciones además de traslaciones (ver capítulo 13 de la "Introducción a la Geometría" de Coxeter). Las dilataciones no son familiares, pero se puede configurar un conmutador similar para el impulso.$\hat{K}$y los argumentos en las otras respuestas se repetirían y dirían que los impulsos no son hermitianos o no existen. Entonces, el álgebra para un impulso es,

$$\begin{equation} [\hat{K},\hat{P}]=i\hat{H} \end{equation}$$ $$\begin{equation} [\hat{K},\hat{H}]=i\hat{P} \end{equation}$$ restando, $$\begin{equation} [\hat{P}-\hat{H},\hat{K}]=i(\hat{P}-\hat{H}) \ . \end{equation}$$ esto es lo mismo que $[\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H}$, módulo un factor numérico, con $\hat{H}\rightarrow\hat{P}-\hat{H}$y $\hat{O}\rightarrow \hat{K}$.