Ayuda a entender la demostración en diagonalización simultánea

Tenga en cuenta que explica anteriormente: "Considere primero el caso en el que al menos uno de los operadores no es degenerado, es decir, para un valor propio dado, solo hay un vector propio, hasta una escala". Entonces usa la suposición de que el operador no es degenerado y la definición de no degeneración (o una declaración equivalente a la definición de no degeneración, si usa una definición diferente).

La frase "para un valor propio dado, solo hay un vector propio, hasta una escala" significa que dos vectores propios cualesquiera con el mismo valor propio$\omega_i$coinciden hasta un factor. Entonces$\lambda_i$es tal factor.

Cuando$\lambda_1$es un valor propio de una matriz y$v_1$y$v_2$son los componentes del vector propio correspondiente, entonces se cumple la siguiente ecuación:

$\begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Ahora, cuando escalas el vector propio (digamos por tres) se ve así:

$\begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3v_1 \\ 3v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Esto lo puedes escribir como

$3 \begin{pmatrix} a-\lambda_1 & b \\ c &d-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

¡Pero la matriz multiplicada por el vector propio da como resultado el vector cero!

Esto es lo que quiso decir cuando dijo "Dado que este vector es único hasta una escala": cualquier vector propio ampliado de una matriz sigue siendo un vector propio. ¿Y cómo se deduce la última ecuación?

Cuando escribes

o

Dado que el vector$\Lambda | \omega_i \rangle$tiene el mismo valor propio que$| \omega_i \rangle$, debe estar en el mismo subespacio invariante que$| \omega_i \rangle$, que Shankar considera unidimensional.

No sé exactamente qué significa escalar, pero recuerda que:

un vector$|\Psi\rangle$es invariante hasta una fase porque una fase global siempre se descarta cuando se calcula, por ejemplo, con el estado$e^{i\theta}|\Psi\rangle$, el valor esperado de y observable$A$usar este estado es

que es el mismo resultado que si calcula el valor esperado simplemente usando el vector$|\Psi\rangle$. Entonces, para todos los propósitos prácticos, puede usar solo un estado$|\Psi\rangle$en el remate de su prueba.