Estado propio del operador de campo en QFT

Como$\phi(f)$y$\pi(f)$, que son autoadjuntos, satisfacen las mismas relaciones de conmutación que$X$y$P$, el cierre del espacio generado por polinomios del anterior par de operadores aplicados a$\lvert 0\rangle$es isomorfo a$L^2(\mathbb R)$. Por lo tanto el espectro de$\phi(f)$y$\pi(f)$, es puramente continua y coincide con$\mathbb R$y no hay vectores propios propios, pero son solo formales e isomorfos a$\lvert x\rangle$y$\lvert p\rangle$.

La respuesta es simple. No se realizan en la naturaleza con demasiada frecuencia. Y más, no son estados estacionarios, por lo que tal estado evoluciona en el tiempo a un estado que contiene fluctuaciones de la variable de campo.$\phi$sobre todo el espacio. El estado propio de$\hat{\phi}$evoluciona a un estado no propio de$\hat{\phi}$. Estas fluctuaciones aumentan y se esparcen con el tiempo. Para obtener este estado, es necesario medir$\phi$sobre el espacio con considerable precisión sobre la longitud de onda del campo de Compton. Sabemos que en esta escala, las fluctuaciones en el campo comienzan a medida que comienza la evolución a través del tiempo.

Los campos que investigamos en mecánica clásica son el estado coherente:

Tenga en cuenta que el estado de vacío$|0\rangle$es también un estado coherente asociado con la solución clásica trivial$\phi_{cl}(x)=0$.

Falta una cosa en las otras respuestas ... las personas realmente discuten los estados propios del operador de campo, o al menos son importantes en QFT. Se utiliza un conjunto completo de estados propios de campo para demostrar que las funciones de n puntos se pueden escribir en términos de una integral de trayectoria, que es un resultado crítico. Pero no se usan como "estados después de una medición de campo", como$|x\rangle$y$|p\rangle$se utilizan en la mecánica cuántica. Al menos no en las aplicaciones principales / que yo sepa.

En caso de que tenga curiosidad por saber cómo se usan exactamente, lo esbozaré a continuación, con el campo escalar real como ejemplo. Al derivar la integral de trayectoria, es necesario escribir la identidad en una base de estados propios de campo

Entonces en un momento dado$t$, cada vector propio$|\phi_t(\vec{x})\rangle$es un estado propio simultáneo de todos los operadores de campo de diferentes$\vec{x}$pero igual$t$. el valor propio$\phi_t(\vec{x})$depende de cual$\vec{x}$se elige en el argumento del campo, por lo que lo escribimos como una función de$\vec{x}$. Esto define un campo clásico (un mapa de$\mathbb{R}^3\to \mathbb{R})$. Los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente si conmutan* y, afortunadamente, las relaciones de conmutación habituales de QFT dan exactamente esto para tiempos iguales:

El proceso de diagonalización se puede repetir en cualquier momento porque la relación de conmutación anterior se cumple para cualquier$t$.

*Creo que, estrictamente, hay más cosas de las que preocuparse para los operadores de dimensión infinita, por lo que es posible que desee tomar las relaciones de conmutación como una indicación de que se pueden diagonalizar simultáneamente, en lugar de una prueba. No sé lo suficiente como para ampliar esto.