¿La multiplicación por matriz diagonal conserva los signos de los valores propios?

Mi pregunta es la siguiente:

Dejar$A$ser un verdadero simétrico$n\times n$matriz y$D=\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n)$sea ​​una matriz diagonal cuyas entradas diagonales sean todos números reales positivos (denotados como$d_1,\ldots,d_n$). Si$A$tiene$k$valores propios positivos,$m$cero valores propios (es decir$0$es un valor propio con multiplicidad$m$) y$n-m-k$valores propios negativos. Entonces hace$DA$tienen el mismo número de valores propios positivos, cero y negativos?

Intuitivamente, creo que esta afirmación es cierta porque, heurísticamente, si asumimos que$A$también es diagonal, sus entradas diagonales son exactamente los valores propios de$A$, y la identidad$\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n)\cdot \mathrm{diag}(a_1,\ldots,a_n)=\mathrm{diag}(a_1d_1,\ldots,a_nd_n)$da directamente el resultado. También es bien sabido que la afirmación es verdadera si$A$es semidefinido positivo. Sin embargo, no estoy seguro de que esto también sea cierto para los casos generales en los que$A$no es necesariamente semidefinido positivo. Traté de encontrar un contraejemplo, pero tampoco funcionó.

¿Alguien tiene ideas?

¡Gracias de antemano!