El adjunto del adjunto de un operador

Dado un espacio vectorial sobre${\mathbb C}$con un producto interno$\langle,\rangle$el adjunto$O^\dagger$de un operador$O$se define por el requisito

$$\langle u,O v\rangle=\langle O^\dagger u, v\rangle~.$$ Ahora, toma un complejo conjugado de ambos lados. Usando $\langle u,v\rangle^* = \langle v,u\rangle$, encontramos $$\langle O v , u\rangle=\langle v , O^\dagger u\rangle~.$$ Sin embargo, por definición $$\langle v , O^\dagger u\rangle = \langle (O^\dagger)^\dagger v , u\rangle~.$$ De este modo, $$O = (O^\dagger)^\dagger ~.$$

Podemos definir el adjunto de un operador$A$como ser$A^\dagger$tal que,

$$\langle A f_1,f_2\rangle = \langle f_1,A^\dagger f_2 \rangle$$

con$\langle \cdot,\cdot\rangle$siendo el producto interior en el espacio de Hilbert apropiado. Ahora bien, si tenemos$(A^\dagger)^\dagger$entonces este es el adjunto del operador$A^\dagger$y por lo tanto,

$$\langle A^\dagger f_1,f_2 \rangle = \langle f_1,(A^\dagger)^\dagger f_2\rangle$$

es su propiedad definitoria. Sobre el campo de los reales, tenemos que el producto interior es simétrico, por lo que podemos escribir,

$$\langle A^\dagger f_1,f_2 \rangle = \langle f_2, A^\dagger f_1\rangle = \langle Af_2,f_1\rangle.$$

Esto se basa únicamente en la definición del adjunto de$A$. Entonces podemos identificar comparando con la segunda ecuación que$A = (A^\dagger)^\dagger$y la prueba terminada$\mathbb C$es similar. Tenga en cuenta que hay una advertencia para esta propiedad, a saber, creo que la involutividad está garantizada para los operadores acotados.