Osciladores armónicos cuánticos acoplados NNN

Question

Osciladores armónicos cuánticos acoplados NNN

Física
mecánica cuántica
osciladores acoplados
oscilador armónico
deberes-y-ejercicios

Kaio

Quiero encontrar las funciones de onda de $N$ osciladores armónicos cuánticos acoplados que tienen el siguiente hamiltoniano:

\begin{array}{rcl} H & = & \sum_{i = 1}^{norte} (\frac{{pag}_{i}^{2}}{2 {metro}_{i}} + \frac{1}{2} {metro}_{i} ω^{2} X_{i}^{2} + \frac{k}{2} (X_{i} - X_{i + 1})^{2}), X_{norte + 1} = 0, \\ = & \frac{1}{2} {pag}^{T} METRO pag + \frac{1}{2} X^{T} k X, \end{array}

$\begin{eqnarray} H &=& \sum_{i=1}^N \left(\frac{p^2_i}{2m_i} + \frac{1}{2}m_i\omega^2 x^2_i + \frac{\kappa}{2} (x_i-x_{i+1})^2 \right)\,, \qquad x_{N+1}=0\,,\\ &=& \frac{1}{2}p^T Mp + \frac{1}{2}x^TKx\,, \end{eqnarray}$ dónde

M = diag (\frac{1}{m_{1}}, \dots, \frac{1}{m_{N}})

$M=\text{diag}(\frac{1}{m_1}, \cdots,\frac{1}{m_N})$ y

K

$K$ es un simétrico real

N \times N

$N\times N$ matriz con valores propios positivos,

k = (\begin{matrix} k_{1}^{'} & - k & 0 & \dots & 0 \\ - k & k_{2}^{'} & - k & ⋱ & ⋮ \\ 0 & - k & ⋱ & ⋱ & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & k_{norte - 1}^{'} & - k \\ 0 & \dots & 0 & - k & k_{norte}^{'} \end{matrix})

$\begin{equation} K= \begin{pmatrix} k'_1& -\kappa & 0 & \cdots & 0 \\ -\kappa & k'_2& -\kappa & \ddots & \vdots \\ 0 & -\kappa & \ddots& \ddots & 0\\ \vdots & \ddots &\ddots & k'_{N-1}&-\kappa \\ 0&\cdots & 0 & -\kappa & k'_N \end{pmatrix} \end{equation}$ con

k_{i}^{'} = m_{i} ω^{2} + 2 κ

$k'_i = m_i\omega^2+2\kappa$ pero

k_{1, N}^{'} = m_{1, N} ω^{2} + κ

$k'_{1,N} = m_{1,N}\omega^2+\kappa$ . Eligiendo una base que diagonalice la matriz

K

$K$ , el hamiltoniano se puede expresar como la suma de osciladores armónicos desacoplados hamiltoniano.

Como ejemplo, considere dos osciladores armónicos cuánticos acoplados con hamiltoniano

H = \frac{{pag}_{1}^{2}}{2 {metro}_{1}} + \frac{{pag}_{2}^{2}}{2 {metro}_{2}} + \frac{1}{2} {metro}_{1} ω^{2} X_{1}^{2} + \frac{1}{2} {metro}_{2} ω^{2} X_{2}^{2} + \frac{k}{2} (X_{1} - X_{2})^{2} .

$\begin{equation} H = \frac{p^2_1}{2m_1} + \frac{p^2_2}{2m_2} + \frac{1}{2}m_1\omega^2 x^2_1 + \frac{1}{2}m_2 \omega^2 x^2_2 + \frac{\kappa}{2} (x_1-x_2)^2 \,. \end{equation}$ Realizamos los siguientes cambios de variables (coordenadas normales)

\begin{array}{rcl} X & = & \frac{X_{1} - X_{2}}{\sqrt{2}}, \\ X & = & \frac{{metro}_{1} X_{1} + {metro}_{2} X_{2}}{METRO \sqrt{2}}, \end{array}

$\begin{eqnarray} x &=& \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}} \,, \\ X &=& \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M\sqrt{2}}\,, \end{eqnarray}$ o equivalente,

\begin{array}{rcl} X_{1} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (X + \frac{{metro}_{2}}{METRO} X), \\ X_{2} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (X - \frac{{metro}_{1}}{METRO} X), \end{array}

$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X + \frac{m_2}{M}x\right) \,, \\ x_2 &=& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(X - \frac{m_1}{M}x\right) \,, \end{eqnarray}$ dónde

M = (m_{1} + m_{2}) / 2

$M=(m_1+m_2)/2$ . Entonces el hamiltoniano se convierte en

H = \frac{{pag}_{X}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω_{-}^{2} X^{2} + \frac{{pag}_{X}^{2}}{2 METRO} + \frac{1}{2} METRO ω_{+}^{2} X^{2} .

$\begin{equation} H = \frac{p^2_x}{2\mu} + \frac{1}{2}\mu\omega_-^2 x^2 + \frac{p^2_X}{2M} + \frac{1}{2}M\omega_+^2 X^2 \,. \end{equation}$ dónde

μ = \frac{m_{1} m_{2}}{M}

$\displaystyle\mu = \frac{m_1m_2}{M}$ y

ω_{+}^{2} = ω^{2}

$\omega_+^2=\omega^2$ y

ω_{-}^{2} = ω^{2} + 2 κ / μ

$\omega_-^2 = \omega^2 + 2\kappa/\mu$ .

Las funciones de onda son

Ψ_{metro norte} (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{\sqrt{π X_{0} X_{0}}} \frac{{mi}^{- X^{2} / 2 X_{0}^{2}}}{\sqrt{metro! 2^{metro}}} \frac{{mi}^{- X^{2} / 2 X_{0}^{2}}}{\sqrt{norte! 2^{norte}}} H_{metro} (\frac{X}{X_{0}}) H_{norte} (\frac{X}{X_{0}}),

$\begin{equation} \Psi_{mn}(x_1,x_2) = \frac{1}{\sqrt{\pi x_0X_0}}\frac{e^{-x^2/2x_0^2}}{\sqrt{m!\,2^m}}\frac{e^{-X^2/2X_0^2}}{\sqrt{n!\,2^n}}H_m\left(\frac{x}{x_0} \right)H_n\left(\frac{X}{X_0} \right) \,, \end{equation}$ dónde

x = x (x_{1}, x_{2})

$x=x(x_1,x_2)$ y

X = X (x_{1}, x_{2})

$X=X(x_1,x_2)$ y

x_{0} = \sqrt{\frac{ℏ}{μ ω_{-}}}

$\displaystyle x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega_-}}$ y

X_{0} = \sqrt{\frac{ℏ}{M ω_{+}}}

$\displaystyle X_0=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega_+}}$ .

¿Cómo funciona todo esto utilizando matrices "formalistas"? Y cómo extenderlo a $N$ CQHO? En última instancia, me gustaría volver a demostrar (8) y (13) en http://arxiv.org/pdf/hep-th/9303048.pdf

usuario35952

¿Qué tal hacer una transformación de similitud a la matriz?

K

$K$ que diagonaliza tu matriz. Supongo que estas transformaciones se llaman transformaciones normales y las nuevas coordenadas se llaman coordenadas normales.

qmecanico

Comentario menor a la publicación (v4): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf, por ejemplo, arxiv.org/abs/hep-th/9303048

Respuestas (2)

Osciladores armónicos cuánticos acoplados NNN

¿Qué tal hacer una transformación de similitud a la matriz? $K$ que diagonaliza tu matriz. Supongo que estas transformaciones se llaman transformaciones normales y las nuevas coordenadas se llaman coordenadas normales.
Comentario menor a la publicación (v4): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf, por ejemplo, arxiv.org/abs/hep-th/9303048

usuario2309840 · Answer 1

Creo que sería conceptualmente más fácil empezar al revés. Supongamos que tenemos $N$ osciladores armónicos desacoplados:

H = \sum_{a = 1}^{norte} [\frac{(π_{a})^{2}}{2 metro} + \frac{1}{2} metro ω_{i}^{2} ϕ_{a}^{2}]

$H = \sum_{a=1}^N \left[ \frac{(\pi_a)^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_i^2 \phi_a^2 \right]$ Ahora imagina aplicar la transformación unitaria

x_{j} = {U_{j}}^{a} ϕ_{a}

$x_j = {U_j}^a \phi_a$ y

p_{j} = {U_{j}}^{a} π_{a}

$p_j = {U_j}^a \pi_a$ dónde

U^{T} U = 1

$U^T U = 1$ para que ambos

[x, p]

$[x,p]$ y

[ϕ, π]

$[\phi,\pi]$ tienen la relación de conmutación estándar. Tal transformación actuará simplemente sobre el

π_{i}^{2}

$\pi_i^2$ término, pero el

ω_{i}

$\omega_i$ 's en la segunda contribución a

H

$H$ dará lugar a interesantes acoplamientos cuadráticos entre los

x_{j}

$x_j$ . (Si además desea masas desiguales (no estoy seguro de que realmente lo haga en el contexto de la entropía de entrelazamiento de un campo escalar libre), puede realizar la escala

x_{i} \to \sqrt{m_{i}} x_{i}

$x_i \to \sqrt{m_i} x_i$ y

p_{i} \to p_{i} / \sqrt{m_{i}}

$p_i \to p_i / \sqrt{m_i}$ sin cambiar la relación de conmutación canónica entre el

x

$x$ 'arena

p

$p$ 's.)

Ahora la pregunta es sobre un acoplamiento de vecino más cercano muy particular entre el $x_i$ . La forma habitual de pensar en esta transformación implica la serie de Fourier. si no me equivoco algo como

X_{j} = \sum_{a = 1}^{norte} {mi}^{2 π i j a / norte} ϕ_{a}

$x_j = \sum_{a=1}^N e^{2 \pi i j a /N} \phi_a$
debería actuar para diagonalizar su hamiltoniano si asumo además que

x_{N + 1} = x_{1}

$x_{N+1} = x_1$ , es decir, estoy viviendo en un círculo.

En el contexto del papel de Srednicki y la entropía de entrelazamiento, existen algunos enfoques más modernos que involucran funciones de dos puntos. Es posible que desee consultar la sección 2.2 de la revisión http://arxiv.org/abs/0905.2562 o la sección III de http://arxiv.org/abs/0906.1663 .

ZeroTheHero · Answer 2

(Si no cometí errores de álgebra obvios) la solución elegante a este problema es darse cuenta de que la matriz

Λ = (\begin{array}{lllr} 0 & 1 & 0 \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & 1 \\ 1 & 0 & 0 \dots & 0 \end{array})

$\Lambda=\left(\begin{array}{lllr} 0&1&0\ldots&0\\ 0&0&1&\ldots 0\\ \vdots&\vdots&\vdots&1\\ 1&0&0\ldots&0 \end{array}\right)$ en realidad viaja con

H

$H$ desde

Λ

$\Lambda$ básicamente mapas

x_{i + 1}

$x_{i+1}$ a

x_{i}

$x_i$ .

Como resultado, $H$ y $\Lambda$ tienen un conjunto común de vectores propios.
Desde $\Lambda^n=1_{n\times n}$ , los valores propios de $\Lambda$ satisfacer $\lambda_k^n=1$ así son los $n$ 'th raíz de la unidad.

λ_{k} = {mi}^{2 π i k / norte} = ω_{norte}^{k} .

$\lambda_k=e^{2\pi i k/n}=\omega_n^k\, .$ Entonces se encuentra fácilmente que los vectores propios son los vectores de Fourier, es decir

v_{k} = \frac{1}{\sqrt{norte}} (\begin{matrix} ω_{norte}^{k} \\ (ω_{norte}^{k})^{2} \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}) .

$v_k= \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\begin{array}{c} \omega_n^k\\ (\omega_n^k)^2\\ \vdots \\ 1 \end{array}\right)\, .$ Con estos puedes construir la matriz.

U

$U$ de autovectores que diagonalizarán

H

$H$ .

Osciladores armónicos cuánticos acoplados NNN

Kaio

usuario35952

qmecanico

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usuario2309840

ZeroTheHero

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