Oscilador armónico acoplado - Resuelva por diagonalización [cerrado]

Tengo un problema donde tengo dos Partículas masivas METRO y una partícula con masa metro < METRO . Las dos partículas en el exterior están acopladas con la del medio con dos resortes. El hamiltoniano del sistema viene dado por:

H = pag 1 2 2 METRO + pag 2 2 2 METRO + pag 3 2 2 metro + 1 2 k ( X 3 − X 1 − d ) 2 + 1 2 k ( X 2 − X 3 − d ) 2
( d es la longitud del resorte en equilibrio.) He reemplazado
q 1 = X 1 q 2 = X 2 − 2 d q 3 = X 3 − d
y reescribimos el potencial como una ecuación matricial:
k 2 q → T A q →
con
A = ( 1 0 − 1 0 1 − 1 − 1 − 1 1 ) q → = ( q 1 q 2 q 3 )
Puedo encontrar la representación diagonal:
A = ( 1 0 0 0 1 + 2 0 0 0 1 − ( 2 ) )
Con los vectores propios correspondientes
( − 1 1 0 ) ( − 1 2 − 1 2 1 ) ( 1 2 1 2 1 )

Esto probablemente significa cambiar a nuevas coordenadas

y 1 = − q 1 + q 2 y 2 = − 1 2 q 1 − 1 2 q 2 + q 3 y 3 = 1 2 q 1 + 1 2 q 2 + q 3

Pero, ¿qué hago con los operadores de momento? Deberían cambiar en consecuencia, pero estoy confundido en cuanto a cómo exactamente

Respuestas (2)

I) Como ha señalado OP, no es suficiente olvidarse de las variables de impulso y solo diagonalizar las variables de posición. Más bien, solo se deben usar transformaciones simplécticas .

De hecho, si se da un hamiltoniano real cuadrático definido semipositivo, se puede demostrar que existe una transformación simpléctica real que pone al hamiltoniano en forma diagonal.

II) Más consejos:

  1. Con el hamiltoniano de OP

    (1) H   =   T + V , T   =   pag 1 2 + pag 2 2 2 METRO + pag 3 2 2 metro , V   =   k 2 ( q 1 − q 3 ) 2 + k 2 ( q 2 − q 3 ) 2 ,
    elegir la transformación de posición de la forma
    (2) q +   =   q 1 + q 2 2 − q 3 , q −   =   q 1 − q 2 2 , q 3   =   a 1 q 1 + a 2 q 2 + q 3 ,
    dónde a 1 y a 2 son constantes que se determinarán más adelante.

  2. Extender la transformación de posición (2) a una transformación canónica

    (3) q i   =   ∂ F 2 ( q , PAG ) ∂ PAG i , pag i   =   ∂ F 2 ( q , PAG ) ∂ q i ,
    en espacio de fase para una función de generación adecuada F 2 ( q , PAG ) de tipo 2 .

  3. Fijar las constantes a 1 y a 2 de modo que la energía cinética T se vuelve diagonal en las nuevas variables de momento PAG i .

Referencias:

  1. VI Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, 2ª ed., 1989; Apéndice 6.
Probablemente una transformación ortogonal debería ser suficiente para diagonalizar la matriz de esta forma cuadrática simétrica (Hamiltoniana). En los cursos habituales de mecánica clásica, aprenderá acerca de las transformaciones canónicas, pero probablemente no escuchará nada acerca de las "transformaciones simplécticas" que abarcan las primeras. Tal vez puedas dar más detalles sobre esto.
Una transformación ortogonal no respetaría necesariamente la estructura simpléctica.

Resuelve las últimas 3 ecuaciones para el X i y expresarlas como funciones de las coordenadas normales y i . Luego diferencia estas ecuaciones y multiplica las velocidades con las masas metro i para obtener los momentos

pag i = metro i d X i d t = metro i F i ( d y 1 / d t , d y 2 / d t , d y 3 / d t )
Esta expresión para los momentos en términos de las nuevas velocidades coordinadas que inserta en el hamiltoniano original.

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