Oscilador armónico cuántico acoplado

Dado el siguiente hamiltoniano para dos osciladores lineales idénticos con constante de resorte k y potencial de interacción α X 1 X 2 ; Me pidieron encontrar el valor esperado ⟨ X 1 X 2 ⟩ ( X 1 & X 2 son variables de oscilador):

H ^ = pag ^ 1 2 2 metro + pag ^ 2 2 2 metro + 1 2 k ( X 1 2 + X 2 2 ) + α X 1 X 2

Sin saber nada más que hacer, cambié a las coordenadas normales:

X 1 = X I + X I I 2
X 2 = X I − X I I 2
Los operadores de cantidad de movimiento se modifican correspondientemente de la misma manera. Por tanto, el nuevo hamiltoniano es:
H ^ = pag ^ I 2 2 metro + pag ^ I I 2 2 metro + 1 2 ( k + α ) X I 2 + 1 2 ( k − α ) X I I 2
Ahora, esto se puede resolver como dos problemas de valores propios separados, lo que genera dos soluciones.

  1. Sin embargo, el problema nunca especifica el tipo de partículas que hay en estos osciladores (es decir, fermiones idénticos, bosones...). Entonces esto me lleva a preguntar, ¿cómo debería formarse la función de onda? ¿Simétrica, asimétrica o ninguna?

  2. Ahora, la segunda parte. Dada la forma en que se forme la función de onda, X 1 X 2 = 1 2 ( X I 2 − X I I 2 ) . Luego intenté formular esto en términos de los operadores de subida y bajada. Me parece que habrá cuatro "tipos" de operadores. Podemos tener (usando la notación de Griffith): a I + , a I − , a I I + , y a I I − . Donde cada uno corresponde a los operadores en la base respectiva. Usar esto me pareció un poco extraño al tratar de aplicar los operadores a una función de onda que se había formado de forma asimétrica o simétrica. Por ejemplo, ¿cómo se podría aplicar el operador a algo como:

    a I + | ψ I norte I ( X I I ) ψ I I norte I I ( X I ) ⟩
    O, ¿estoy pensando en esto incorrectamente de alguna manera? O tal vez hay alguna manera más fácil. Cualquier orientación es muy apreciada.

Además, para poder evaluar algún valor de expectativa, uno necesita saber en qué estado estamos...
¿Con respecto a qué estado estás tomando la expectativa? es decir, qué es | Ψ ⟩ en ⟨ X 1 X 2 ⟩ = ⟨ Ψ | X 1 X 2 | Ψ ⟩ ?
¡Si, lo siento! @Danu. No sabía que era necesario especificar el estado. En el caso de una división, no es necesario, ya que los operadores de subida y bajada pueden dar el valor esperado en términos del número cuántico. norte . ¿Este caso será diferente? Los estados no fueron especificados
Creo que veo lo que quieres decir. Solo estoy asumiendo un estado estacionario

Respuestas (2)

De acuerdo, para dos partículas que interactúan en un oscilador armónico, debe averiguar cuál de las funciones de onda que encontró anteriormente satisface los requisitos de intercambio. mira como X I , I I se ven afectados por el intercambio de X 1 y X 2 . Esto dará requisitos sobre cuáles son los valores permitidos de la norte i son. El ejemplo que diste se comportaría como esperas. Donación | ψ norte I + 1 ( X I ) ψ norte I I ( X I I ) ⟩ . No hay garantía de que este estado todavía satisfaga los requisitos de intercambio a priori.

Estoy bastante seguro de que esto es para un sistema de dos partículas. Además, la parte de las estadísticas era solo una pequeña parte del problema. No tenía claro cómo aplicar los operadores a este sistema. ¿Qué opinas de la última parte de mi pregunta?
Bien, entonces el producto ψ I ψ I I es antisimétrico bajo intercambio si norte I I es impar y simétrico si norte I I incluso. Entonces, ¿significa esto que la función de onda en realidad se escribe así como un producto, y los números cuánticos están determinados por si las partículas son fermiones o bosones? ¡Supongo que esto tiene sentido! ¡Hará que calcular el valor esperado sea mucho más fácil!

Si sus partículas son bosones idénticos n dos = 0,2,4... Si son fermiones n dos = 1,3,5... un dos cambiará solo psi dos.

Jaja gracias por la respuesta pero lo entendí. ¡Los polinomios de Hermite son pares e impares!
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