Valor promedio de tiempo del operador Spin

Puede usar el corolario de Wigner-Eckart donde el operador$\vec{S}$se utiliza:

$\langle JM_J|\vec{S}|JM_J \rangle = \langle J||\vec{S}||J| \rangle \langle JM_J|\vec{J}|JM_J \rangle ;$

$\langle JM_J|\vec{J}\cdot\vec{S}|JM_J \rangle =\langle J||\vec{S}||J \rangle \langle JM_J|\vec{J}^2|JM_J \rangle;$

De este,

$\langle J||\vec{S}||J\rangle=\frac{ \langle JM_J|\vec{J}\cdot\vec{S}|JM_J\rangle}{\langle JM_J|\vec{J}^2|JM_J\rangle}$

Ahora, al insertarlo en la primera ecuación,

$\langle JM_J|\vec{S}|JM_J \rangle = \frac{ \langle JM_J|\vec{J}\cdot\vec{S}|JM_J \rangle}{\langle JM_J|\vec{J}^2|JM_J \rangle} \langle JM_J|\vec{J}|JM_J \rangle$

Generalmente tenemos

$\vec{S}_{average} = \frac{\vec{S}\cdot\vec{J}}{\vec{J}^2} \vec{J}$