Momento angular de representación matricial

Question

Momento angular de representación matricial

Wang Xin

Se supone que debemos dar una representación matricial de $L\cdot S$ para un electrón con $l=1$ y $s=\frac{1}{2}$ .

Yo leo $L\cdot S$ como $L \otimes S$ . ¿Es esto correcto? Entonces tendríamos por ejemplo para

$L\otimes S (|1,1\rangle \otimes |1/2,1/2\rangle) = L |1,1\rangle \otimes S|1/2,1/2\rangle$ $= \sqrt{2} \hbar |1,1\rangle \otimes \sqrt{\frac{3}{4}} \hbar |1/2,1/2 \rangle = \sqrt{\frac{3}{2}}\hbar^2 |1,1\rangle \otimes |1/2,1/2\rangle$ .

¿Es correcta esta corrección? En ese caso, ¿debería proceder de esta manera con todos los demás vectores base y escribir los valores propios en la diagonal de una matriz?

Valter Moretti

L

${\bf L}$ y

S

${\bf S}$ son vectores.

L \cdot S

${\bf L} \cdot {\bf S}$ es un escalar. Qué es

L \otimes S

$L\otimes S$ ? Si desea utilizar el producto tensorial de operadores, la expresión correcta es

L \cdot S = \sum_{k = 1}^{3} L_{i} \otimes S_{i}

${\bf L} \cdot {\bf S} = \sum_{k=1}^3 L_i \otimes S_i$ .

Wang Xin

¿Entonces dices que esto es una tontería? bueno, ¿sabes cómo obtener una representación matricial para

L \cdot S

$L \cdot S$ ?

Valter Moretti

Sí: reemplazar cada operador

L_{i}

$L_i$ y

S_{i}

$S_i$ para la matriz correspondiente. Usa el hecho de que

l = 1

$l=1$ y

s = 1 / 2

$s=1/2$ para encontrar estas matrices en los libros de texto.

Wang Xin

no entiendo esto si decimos que

J = L + S

$J=L+S$ , ¿no significa esto que

J = L \otimes I d + I d \otimes S

$J=L \otimes Id + Id \otimes S$ ? Creo que no he entendido todo el concepto de suma de momentos angulares. ¿Cuál es la notación matemática correcta para

J = L + S

$J=L+S$ ?

Emilio Pisanty

La notación matemática correcta para esa suma es

J = L \otimes 1_{spin} + 1_{orb} \otimes S

$\mathbf{J}=\mathbf{L}\otimes 1_\text{spin}+1_\text{orb}\otimes\mathbf{S}$ , donde el

1

$1$ s son operadores de identidad en los espacios de spin y orbitales de Hilbert.

Valter Moretti

J = L + S

${\bf J}= {\bf L} + {\bf S}$ en realidad significa:

J_{k} = L_{k} \otimes I_{s p i n} + I_{o r b} \otimes S_{k}

$J_k = L_k \otimes I_{spin} + I_{orb}\otimes S_k$ para

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$ .

Wang Xin

Gracias. Entonces, ¿solo puedo definir este producto tensorial para cada componente? Pero, ¿cómo me ayuda esto a evaluar este

L \cdot S

$L \cdot S$ Quiero decir, solo sé lo que

L_{3} \otimes S_{3}

$L_3 \otimes S_3$ hace sobre la base canónica en Mecánica Cuántica, por supuesto

L_{1} \otimes S_{1}

$L_1 \otimes S_1$ y lo mismo con el índice 2 están completamente indeterminados por el principio de incertidumbre?

Valter Moretti

Por lo tanto

L \cdot S = \sum_{k} (L_{k} \otimes I) (I \otimes S_{k}) = \sum_{k} L_{k} \otimes S_{k}

${\bf L}\cdot {\bf S}= \sum_k (L_k \otimes I)(I\otimes S_k) = \sum_k L_k \otimes S_k$ .

Valter Moretti

Solo debe escribir explícitamente la forma matricial de

L \cdot S

${\bf L}\cdot {\bf S}$ , por lo que yo entendí. Esta matriz existe sin importar si no hay vectores propios comunes para todos los componentes del espín o momento angular.

Wang Xin

sí, pero ¿cómo encuentro esta matriz? ¿Qué necesito hacer ahora?

Valter Moretti

Con respecto a las matrices de espín, como

s = 1 / 2

$s=1/2$ , ellos son

ℏ / 2 σ_{i}

$\hbar/2 \:\:\sigma_i$ ¿DE ACUERDO?

Valter Moretti

Sobre

L_{i}

$L_i$ , ya que sabes que

l = 1

$l=1$ , son exactamente las mismas matrices que determinan los componentes de espín de una partícula de espín

1

$1$ . Están escritos en casi todos los libros de texto.

Valter Moretti

en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , sección Mecánica cuántica las tres primeras matrices (hay

l = j

$l=j$ y

L_{i} = J_{i}

$L_i=J_i$ .

joshfísica

Muy relacionado: physics.stackexchange.com/questions/60409/…

Respuestas (1)

Momento angular de representación matricial

${\bf L}$ y ${\bf S}$ son vectores. ${\bf L} \cdot {\bf S}$ es un escalar. Qué es $L\otimes S$ ? Si desea utilizar el producto tensorial de operadores, la expresión correcta es ${\bf L} \cdot {\bf S} = \sum_{k=1}^3 L_i \otimes S_i$ .
¿Entonces dices que esto es una tontería? bueno, ¿sabes cómo obtener una representación matricial para $L \cdot S$ ?
Sí: reemplazar cada operador $L_i$ y $S_i$ para la matriz correspondiente. Usa el hecho de que $l=1$ y $s=1/2$ para encontrar estas matrices en los libros de texto.
no entiendo esto si decimos que $J=L+S$ , ¿no significa esto que $J=L \otimes Id + Id \otimes S$ ? Creo que no he entendido todo el concepto de suma de momentos angulares. ¿Cuál es la notación matemática correcta para $J=L+S$ ?
La notación matemática correcta para esa suma es $\mathbf{J}=\mathbf{L}\otimes 1_\text{spin}+1_\text{orb}\otimes\mathbf{S}$ , donde el $1$ s son operadores de identidad en los espacios de spin y orbitales de Hilbert.
${\bf J}= {\bf L} + {\bf S}$ en realidad significa: $J_k = L_k \otimes I_{spin} + I_{orb}\otimes S_k$ para $k=1,2,3$ .
Gracias. Entonces, ¿solo puedo definir este producto tensorial para cada componente? Pero, ¿cómo me ayuda esto a evaluar este $L \cdot S$ Quiero decir, solo sé lo que $L_3 \otimes S_3$ hace sobre la base canónica en Mecánica Cuántica, por supuesto $L_1 \otimes S_1$ y lo mismo con el índice 2 están completamente indeterminados por el principio de incertidumbre?
Por lo tanto ${\bf L}\cdot {\bf S}= \sum_k (L_k \otimes I)(I\otimes S_k) = \sum_k L_k \otimes S_k$ .
Solo debe escribir explícitamente la forma matricial de ${\bf L}\cdot {\bf S}$ , por lo que yo entendí. Esta matriz existe sin importar si no hay vectores propios comunes para todos los componentes del espín o momento angular.
sí, pero ¿cómo encuentro esta matriz? ¿Qué necesito hacer ahora?
Con respecto a las matrices de espín, como $s=1/2$ , ellos son $\hbar/2 \:\:\sigma_i$ ¿DE ACUERDO?
Sobre $L_i$ , ya que sabes que $l=1$ , son exactamente las mismas matrices que determinan los componentes de espín de una partícula de espín $1$ . Están escritos en casi todos los libros de texto.
en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , sección Mecánica cuántica las tres primeras matrices (hay $l=j$ y $L_i=J_i$ .
Muy relacionado: physics.stackexchange.com/questions/60409/…

Emilio Pisanty · Answer 1

Hay dos problemas a tratar que deben ser desenredados para resolver problemas como estos.

Ambos operadores de momento angular son operadores vectoriales , por lo que en cierto sentido "toman valores" en $\mathbb R^3$ ; se le pide su producto punto, que debe tomarse dentro de esa copia de $\mathbb R^3$ . Tendrías el mismo problema si te pidieran calcular el producto escalar $\mathbf r\cdot\mathbf p$ para una sola partícula sin espín.
Los operadores de momento angular orbital y de espín actúan sobre los dos factores diferentes de un producto tensorial de espacios de Hilbet. Por lo tanto, cualquier producto (operador) de un operador orbital escalar con un operador de espín escalar debe interpretarse como un producto tensorial. Tendrías el mismo problema si te pidieran calcular el producto $L^2S^2$ , lo que debe interpretarse como $L^2\otimes S^2$ .

Así, en su caso, debe leer $L\cdot S$ como

L \cdot S = \sum_{i = 1}^{3} L_{i} S_{i} = \sum_{i = 1}^{3} L_{i} \otimes S_{i} .

$\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}=\sum_{i=1}^3L_iS_i=\sum_{i=1}^3L_i\otimes S_i.$ Para calcular la representación matricial de esto, debe comenzar con la representación matricial de cada

L_{i}

$L_i$ y

S_{i}

$S_i$ . Luego calcula las matrices de productos tensoriales

L_{i} \otimes S_{i}

$L_i\otimes S_i$ . Finalmente, suma todas esas matrices para obtener el resultado final.

Todo esto queda mucho más claro con un ejemplo. El $z$ componente, por ejemplo, es fácil, ya que cada matriz está dada por

L_{z} = ℏ (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) y S_{z} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}),

$L_z=\hbar\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad S_z=\frac\hbar 2 \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},$ en las bases

{| 1 ⟩, | 0 ⟩, | - 1 ⟩}

$\{|1\rangle,|0\rangle,|-1\rangle\}$ y

{| \frac{1}{2} ⟩, | - \frac{1}{2} ⟩}

$\{|\tfrac12\rangle,|-\tfrac12\rangle\}$ respectivamente. La matriz del producto tensorial, entonces, en la base

{| 1 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | 0 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | - 1 ⟩ \otimes | \frac{1}{2} ⟩, | 1 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩, | 0 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩, | - 1 ⟩ \otimes | - \frac{1}{2} ⟩}

$\{|1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|\tfrac12\rangle , |1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|0\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle ,|-1\rangle\otimes|-\tfrac12\rangle \}$ , es dado por

L_{z} \otimes S_{z} = \frac{ℏ^{2}}{2} (\begin{matrix} 1 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & 0 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \\ 0 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) & - 1 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) \end{matrix}) = \frac{ℏ^{2}}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

$L_z\otimes S_z=\frac{\hbar^2} 2 \begin{pmatrix} 1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} & 0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \\ 0\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} & -1\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{pmatrix} =\frac{\hbar^2} 2 \begin{pmatrix} 1&0&0& 0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\ 0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0& 0&0&0&1 \end{pmatrix}.$ Este procedimiento debe repetirse tanto con el

x

$x$ y el

y

$y$ componentes Cada uno de ellos producirá una matriz de seis por seis (en este caso). Para obtener su respuesta final, debe sumar las tres matrices.

Momento angular de representación matricial

Wang Xin

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Emilio Pisanty

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