¿Por qué el producto escalar es igual a uno? (matrices de espín de Pauli)

Estaba leyendo estas notas de clase (NB: PDF):

Para spin-1/2, el operador de rotación

$$R_\alpha^{(s)}(\mathbf n)=\exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec\sigma\cdot\mathbf{\hat n}\right)$$ puede escribirse como un explícito $2\times2$matriz. Esto se logra expandiendo la exponencial en una serie de Taylor: $$\begin{align} \exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec\sigma\cdot\mathbf{\hat n}\right)&=1-\frac{i\alpha}{2}\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)+\frac1{2!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^2\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2\\&\quad-\frac1{3!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^3\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^3+\cdots \end{align}$$ Tenga en cuenta que $$\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2=\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)=\hat{\mathbf n}\cdot\hat{\mathbf n}+i\sigma\left(\hat{\mathbf n}\times\hat{\mathbf n}\right)=1$$ Por lo tanto, la serie de Taylor se convierte en $$\begin{align} \exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec\sigma\cdot\mathbf{\hat n}\right)&=1-\frac{i\alpha}{2}\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)+\frac1{2!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^2\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^2\\&\quad-\frac1{3!}\left(\frac{i\alpha}{2}\right)^3\left(\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\right)^3+\cdots\\ &=\left[1-\frac1{2!}\left(\frac\alpha2\right)^2+\frac1{4!}\left(\frac\alpha2\right)^$+\cdots\right]\\&\quad-i\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\left[\left(\frac\alpha2\right)-\frac1{3!}\left(\frac\alpha2\right)^3+\cdots\right]\\ &=\cos\left(\frac\alpha2\right)-i\vec\sigma\cdot\hat{\mathbf n}\sin\left(\frac\alpha2\right) \end{align}$$

Sin embargo, la parte que no entiendo es:

¿Por qué es igual a 1? ¿De dónde vienen el producto escalar y el producto cruzado? Tenga en cuenta que el$\sigma$son matrices de espín de Pauli .