Degeneración de estados cuando se tiene en cuenta el acoplamiento Spin-Orbit

Antes de hacer esta pregunta, debo incluir algunos antecedentes necesarios de la siguiente manera para que la pregunta tenga sentido:

En un tratamiento mecánico cuántico simple del hidrógeno, todos los estados con el mismo valor del número cuántico principal$n$son degenerados ya que tienen la misma energía. La degeneración total de todos los estados con un valor dado de es$2n^2$y esto se puede mostrar de la siguiente manera:

Primero, consideremos (principalmente como referencia) los números cuánticos relevantes para el hidrógeno en este problema:

$n$: Número cuántico principal ($n\ge 1$; valores enteros)

$\ell$: Número cuántico del momento angular orbital ($0\le\ell\le n-1$; valores enteros)

$m_{\ell}$: número cuántico magnético ($-\ell\le m_{\ell}\le \ell$; valores enteros)

$m_s$: Número cuántico de proyección de espín ($-s\le m_s\le s$; para nuestro caso$m_s=\pm \frac12$)

La tabla para los números cuánticos permitidos son:

En la tabla anterior, puede ver fácilmente que para un determinado$n$la suma de los asociados$m_{\ell}$valores para cada uno$\ell$daré$n^2$. O escrito de manera más compacta ya que cada$\ell$tiene$2\ell + 1$valores para$m_{\ell}$:

Ahora observamos que hay dos valores posibles para$m_s$(que no me molesté en poner en la tabla porque es tedioso) así que multiplicamos la expresión anterior por$2$para obtener la respuesta de$2n^2$.

Lo anterior se hizo en el sin considerar el acoplamiento Spin-Orbit. Cuando se tiene en cuenta el acoplamiento espín-órbita, cada$n$,$\ell$estado da lugar a dos niveles con momento angular total$j=\ell \pm \frac12$

Muestre que el número total de estados con los mismos valores de$n$y$\ell$no ha cambiado Esto ilustra el punto general de que volver a acoplar los momentos angulares nunca cambia el número total de estados disponibles.

Primero citaré la solución a esto y luego explicaré qué parte no entiendo:

El estado$n,\ell$tiene una degeneración de$2(2\ell+1)$. Cuando se divide en dos estados con$j=\ell-\frac12$y$j=\ell +\frac12$, las degeneraciones de estos estados son$\color{red}{2\ell}$ $\,\color{red}{\text{&}}$ $\,\color{red}{2\ell + 2}$, por lo que la degeneración total sigue siendo$4\ell +2$. Como esto se cumple para cada valor de$\ell$, se cumple para el conjunto completo de estados que tienen el mismo valor de$n$.

En primer lugar, entiendo por qué el estado$n,\ell$tiene una degeneración de$2(2\ell+1)$, esto se debe a que hay dos valores posibles de$m_{s}$para una dada$\ell$ y hay$2\ell +1$valores de$m_{\ell}$que se multiplican para dar$2(2\ell+1)$.

La parte de la solución que no entiendo está marcada en rojo.

Después de la$n,\ell$el estado se divide en$2$afirma por qué estos estados deben tener degeneraciones$\color{red}{2\ell}$y$\,\color{red}{2\ell + 2}$?

Dicho de otra manera; ¿Por qué no dividir como$\ell$y$3\ell +2$por ejemplo, qué suma dar a la requerida$4\ell +2$o$\ell + 1$y$3\ell +1$?

Me temo que me estoy perdiendo algo muy simple aquí.