¿Cómo puedes probar que los cuadrados de los valores esperados de las tres componentes del espín suman 1?

Question

¿Cómo puedes probar que los cuadrados de los valores esperados de las tres componentes del espín suman 1?

IntegralPrime

Estoy trabajando en The Theoretical Minimal: Quantum Mechanics de Leonard Susskind. En este libro se introduce una declaración llamada "principio de polarización de espín", que esencialmente establece que:

Para cualquier estado $|A \rangle$ , existe un vector de dirección $\hat{n}$ tal que $\vec{\sigma} \cdot \hat{n} \, |A \rangle = |A\rangle$ .

(Aquí $\sigma$ se usa para operadores de giro - he visto $S_n, S_x, S_y, S_z$ utilizado en otros lugares).

Entiendo que esto significa que para cualquier estado siempre existe una dirección en la que se puede orientar un aparato de medición de espín de tal manera que medirá el espín como $+1$ con $100\%$ certeza. Por lo tanto, podemos escribir que el valor esperado de este observable es $1$ :

⟨ \vec{σ} \cdot \hat{norte} ⟩ = 1.

$\langle \vec{\sigma} \cdot \hat{n} \rangle = 1.$

tenemos eso $\vec{\sigma} \cdot \hat{n} = n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z$ dónde $n_x, n_y, n_z$ son los componentes de $\hat{n}$ .

Luego, el libro establece que "el valor esperado de los componentes perpendiculares de $\sigma$ son cero en el estado $|A\rangle$ y luego afirma que "se sigue" de esto que

⟨ σ_{X} ⟩^{2} + ⟨ σ_{y} ⟩^{2} + ⟨ σ_{z} ⟩^{2} = 1.

$\langle \sigma_x \rangle ^2 + \langle \sigma_y \rangle ^2 + \langle \sigma_z \rangle ^2 = 1.$

Sin embargo, no entiendo qué quiere decir el libro con esto, o cómo deduces que la suma de los cuadrados de los valores esperados de los componentes de espín es 1.

Creo que podría ser que los "componentes perpendiculares" sean $0$ se refiere al componente de espín medido en una dirección perpendicular a $\hat{n}$ en $3$ espacio D (porque si un $+1$ el centrifugado se prepara a lo largo $\hat{n}$ entonces el valor esperado de la medición de espín perpendicular a $\hat{n}$ (a lo largo de un vector $\hat{m}$ ) es $\hat{n} \cdot \hat{m} = 0$ .

También podemos demostrar que

⟨ \vec{σ} \cdot \hat{norte} ⟩ = ⟨ A | \vec{σ} \cdot \hat{norte} | A ⟩ = {norte}_{X} ⟨ σ_{X} ⟩ + {norte}_{y} ⟨ σ_{y} ⟩ + {norte}_{z} ⟨ σ_{z} ⟩,

$\langle \vec{\sigma} \cdot \hat{n} \rangle = \langle A | \vec{\sigma} \cdot \hat{n} | A \rangle = n_x \langle \sigma_x \rangle + n_y \langle \sigma_y \rangle + n_z \langle \sigma_z \rangle,$

que es lo más cerca que tengo de mostrar que la suma de los cuadrados de los valores esperados de los componentes de espín es $1$ .

¿Qué quiere decir el libro con esta afirmación y cómo deducimos que

⟨ σ_{X} ⟩^{2} + ⟨ σ_{y} ⟩^{2} + ⟨ σ_{z} ⟩^{2} = 1 ?

$\langle \sigma_x \rangle ^2 + \langle \sigma_y \rangle ^2 + \langle \sigma_z \rangle ^2 = 1?$

Andrés

¿Estás seguro de que no es

⟨ σ_{x}^{2} ⟩ + ⟨ σ_{y}^{2} ⟩ + ⟨ σ_{z}^{2} ⟩ = 1

$\langle \sigma_x^2\rangle + \langle \sigma_y^2\rangle + \langle \sigma_z^2 \rangle = 1$ ?

mike piedra

@Andrew No. La suma de los valores esperados de los cuadrados es 3/4.

Respuestas (2)

¿Cómo puedes probar que los cuadrados de los valores esperados de las tres componentes del espín suman 1?

¿Estás seguro de que no es $\langle \sigma_x^2\rangle + \langle \sigma_y^2\rangle + \langle \sigma_z^2 \rangle = 1$ ?
@Andrew No. La suma de los valores esperados de los cuadrados es 3/4.

ZeroTheHero · Answer 1

Comience con cualquier estado normalizado $\vert\psi\rangle=\alpha\vert{+}\rangle +\beta\vert{-}\rangle$ . De hecho, este más general $\vert\psi\rangle$ es de la forma $\cos\beta/2 \vert +\rangle +e^{i\varphi}\sin\beta/2\vert - \rangle$ y los angulos $\beta$ y $\varphi$ están relacionados con los valores medios de las matrices de Pauli, vg $\langle \sigma_z\rangle=\cos\beta=n_z$ .

Así obtienes inmediatamente

\begin{aligned} \sum_{i} ⟨ σ_{i} ⟩^{2} = \sum_{i} {norte}_{i}^{2} = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \sum_i \langle \sigma_i\rangle^2 =\sum_i n_i^2=1 \end{align}$

Tenga en cuenta que esto $\vert\psi\rangle$ es también un estado propio de $\hat n\cdot\vec\sigma$ .

jay g · Answer 2

Desde el estado $A$ está polarizado por la dirección de $\vec n$ , el valor esperado de observable $\sigma_x$ es $n_x$ . O $\langle \sigma_x \rangle = n_x$ . $n_y$ y $n_z$ no participan en el valor esperado de $\sigma_x$ porque el componente $\sigma_y$ y $\sigma_z$ son perpendiculares a $\sigma_x$ .

Por argumentos simétricos, $\langle \sigma_y \rangle = n_y$ y $\langle \sigma_z \rangle = n_z$ .

Sigue la derivación:

⟨ \vec{σ} \cdot \vec{norte} ⟩ = {norte}_{X} ⟨ σ_{X} ⟩ + {norte}_{y} ⟨ σ_{y} ⟩ + {norte}_{z} ⟨ σ_{z} ⟩ = {⟨ σ_{X} ⟩}^{2} + {⟨ σ_{y} ⟩}^{2} + {⟨ σ_{z} ⟩}^{2} = 1

$\langle \vec\sigma \cdot \vec n \rangle = n_x\langle\sigma_x\rangle + n_y\langle\sigma_y\rangle + n_z\langle\sigma_z\rangle = {\langle \sigma_x \rangle}^2 + {\langle \sigma_y \rangle}^2 + {\langle \sigma_z \rangle}^2 = 1$

¿Cómo puedes probar que los cuadrados de los valores esperados de las tres componentes del espín suman 1?

IntegralPrime

Andrés

mike piedra

Respuestas (2)

ZeroTheHero

jay g

¿Cómo funciona r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) se relacionan con el operador de momento angular orbital?

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