¿Cómo determinar si un estado propio de espín total es simétrico o antisimétrico?

Denotemos los espines de las partículas individuales por$j_1 = j_2 = I$, los números cuánticos para el$z$-componentes de su momento angular por$m_1$y$m_2$, el giro de su estado combinado por$J$, y el$z$-componente del momento angular del estado combinado por$M$. Tenemos dos bases para los estados de estas partículas: la base de "partícula individual", denotada por

$$|I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle$$ y la base de "partículas combinadas", denotada por $$|J \, M \rangle.$$ (Tenga en cuenta que $j_1$y $j_2$también siguen siendo números cuánticos "buenos" para este último estado; pero incluirlos en ambas notaciones es redundante y puede confundir las cosas, así que los omitiré). Finalmente, denotemos por $\hat{E}$el operador de intercambio entre las partículas 1 y 2, es decir, definimos $\hat{E}$tal que $$\hat{E} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle = |I \, m_2 \, I \, m_1 \rangle.$$

Podemos realizar una transformación de base para expresar cualquier estado$|J \, M \rangle$en cuanto a la base$|I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle$:

$$|J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle$$ los coeficientes $\langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle$se conocen como los coeficientes de Clebsch-Gordan . Queremos saber que pasa cuando aplicamos el operador de intercambio $\hat{E}$a este estado: $$\hat{E} |J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_2 \, I \, m_1 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_2 \,I \, m_1 | J \, M \rangle$$ (El segundo paso es solo un reetiquetado de índices ficticios $m_1$y $m_2$en la suma.) Podemos ver que $|J \, M \rangle$será un estado propio de $\hat{E}$si y solo si todos los coeficientes de Clebsch-Gordan $\langle I \,m_1 \,I \, m_2 |J \, M \rangle$se multiplican por el mismo factor cuando intercambiamos $m_1 \leftrightarrow m_2$. Afortunadamente, los coeficientes de Clebsch-Gordon satisfacen la identidad $$\langle j_1 \,m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_2 \,m_2 \, j_1 \, m_1 | J \, M \rangle$$ y así tenemos $$\begin{multline} \hat{E} |J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \left[ (-1)^{2I - J} \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle \right] \\ = (-1)^{2I - J} \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{2I - J} |J \, M \rangle. \end{multline}$$ Por lo tanto, los estados combinados son simétricos cuando$2I$y$J$son ambas pares o ambas impares, y antisimétricas cuando una cantidad es par y la otra es impar.

Los estados finales$\left|j,m\right\rangle$que surge del acoplamiento de dos momentos angulares$j_{\alpha}$y$j_{\beta}$están relacionados con los estados iniciales desacoplados$\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle, \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle$a través de los llamados coeficientes de Glebsch-Gordan $C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}$

$$\begin{equation} \left|j,m\right\rangle =\sum_{m^{\alpha},m^{\beta}}^{m^{\alpha}\!+m^{\beta}=m}C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle \tag{01} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \begin{split} & j=\vert j_{\alpha}-j_{\beta}\vert,\vert j_{\alpha}-j_{\beta}\vert+1 , \cdots , j_{\alpha}+j_{\beta}\\ & m=-j,-j+1, \cdots , j-1,j\\ & m= m^{\alpha}+m^{\beta}\\ & m^{\alpha} = -j_{\alpha},-j_{\alpha}+1, \cdots, j_{\alpha}-1,j_{\alpha}\\ & m^{\beta} = -j_{\beta},-j_{\beta}+1, \cdots, j_{\beta}-1,j_{\beta}\\ & \left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle=\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \boldsymbol{\otimes}\left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle \end{split} \tag{02} \end{equation}$$ Estos coeficientes vienen dados por la ecuación (03) $$\begin{equation} \begin{split} & C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}=\\ & \frac{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}\right)!\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}\right)!\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}\right)!\left(j-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!}}{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}+j_{\beta}+1\right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}\right)!\left(j_{\alpha}+m^{\alpha}\right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}\right)!\left(j_{\beta}+m^{\beta}\right)!}}\\ &\times \sum_{\varkappa}\frac{\left(-1\right)^{\varkappa+j_{\beta}+m^{\beta}}\sqrt{\left( 2j+1\right) }\left(j+j_{\beta}+m^{\alpha}-\varkappa \right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}+\varkappa\right)!}{\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}-\varkappa \right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\varkappa!\left(\varkappa + j_{\alpha}-j_{\beta}-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!} \end{split} \tag{03} \end{equation}$$ La variable $\,\varkappa\,$en serie toma todos los valores enteros no negativos para los cuales todos los factoriales tienen sentido.

Intercambiando$j_{\alpha}$y$j_{\beta}$y simultáneamente$m^{\alpha}$y$m^{\beta}$rendimientos

$$\begin{equation} \begin{split} & C_{jm^{\beta}m^{\alpha}}^{j_{\beta}j_{\alpha}}=\\ & \frac{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}\right)!\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}\right)!\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}\right)!\left(j-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!}}{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}+j_{\beta}+1\right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}\right)!\left(j_{\alpha}+m^{\alpha}\right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}\right)!\left(j_{\beta}+m^{\beta}\right)!}}\\ &\times \sum_{\varkappa}\frac{\left(-1\right)^{\varkappa+j_{\alpha}+m^{\alpha}}\sqrt{\left( 2j+1\right) }\left(j+j_{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}+\varkappa\right)!}{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}-\varkappa \right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\varkappa!\left(\varkappa - j_{\alpha}+j_{\beta}-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!} \end{split} \tag{04} \end{equation}$$

Como se señala en Wigner ⁽¹⁾ $\; C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}$permanecerá sin cambios si$j_{\alpha}$y$j_{\beta}$y simultáneamente$m^{\alpha}$y$m^{\beta}$se intercambian y en este resultado el factor$\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j}$Está aplicado

$$\begin{equation} C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}} =\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j} C_{jm^{\beta}m^{\alpha}}^{j_{\beta}j_{\alpha}} \tag{05} \end{equation}$$ Tenga en cuenta que bajo un segundo intercambio, el factor general sería $\left(-1\right)^{2\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)}=+1$como era de esperar, ya que $\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)$es siempre un entero (no negativo).

Entonces para$j_{\alpha}=I=j_{\beta}$los dos coeficientes difieren por$(-1)^\left(2I-j\right)$y de acuerdo con la respuesta de Michael Seifert:

los estados combinados son simétricos cuando$2I$y$j$son ambas pares o ambas impares, y antisimétricas cuando una cantidad es par y la otra es impar.

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Ejemplos:

1. $\qquad j_{\alpha}=\frac{1}{2}=j_{\beta}$

$$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \left|0,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-\rho\hphantom{+}&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ +1\hphantom{+}&0&0&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ 0&+\rho\hphantom{+}&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ 0&0&0&+1\hphantom{+}\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left|\frac{1}{2},\!\!-\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!-\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!+\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!+\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!+\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!+\frac12\right\rangle_{\beta} \end{bmatrix} \, , \quad \rho = \sqrt{\tfrac12} \tag{Ex-01} \end{equation}$$

^{$\boldsymbol{1} : \left|0,\,0\,\right\rangle \Longrightarrow \text{antisymmetric}$}

^{$\boldsymbol{3} : \left|1,\!\!-\!1\right\rangle,\left|1,0\right\rangle,\left|1,\!\!-\!1\right\rangle\Longrightarrow \text{symmetric}$}

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2. $\qquad j_{\alpha}=1=j_{\beta}$

$$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{5} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \begin{bmatrix} \left|0,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!-\!2\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!+\!2\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \!=\! \begin{bmatrix} 0&0&+\sigma\hphantom{+}&0&-\sigma\hphantom{+}&0&+\sigma\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&-\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&-\rho\hphantom{+}&0&0&0&+\rho\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&-\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ +1\hphantom{+}&0&0&0&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&+\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&+\tau\hphantom{+}&0&+\upsilon\hphantom{+}&0&+\tau\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&+\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&+1\hphantom{+}\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\beta} \end{bmatrix} \,, \: \begin{matrix} \rho = \sqrt{\frac12} \\ \sigma = \sqrt{\frac13}\\ \tau = \sqrt{\frac16}\\ \upsilon = \sqrt{\frac23} \end{matrix} \tag{Ex-02} \end{equation}$$

^{$\boldsymbol{1} : \left|0,\,0\,\right\rangle \Longrightarrow \text{symmetric}$}

^{$\boldsymbol{3} : \left|1,\!\!-\!1\right\rangle,\left|1,0\right\rangle,\left|1,\!\!-\!1\right\rangle\Longrightarrow \text{antisymmetric}$}

^{$\boldsymbol{5} : \left|2,\!\!-\!2\right\rangle,\left|2,\!\!-\!1\right\rangle,\left|2,0\right\rangle,\left|2,\!\!+\!1\right\rangle,\left|2,\!\!+\!2\right\rangle \Longrightarrow \text{symmetric}$}

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^{(1) Wigner Eugene P. "Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de espectros atómicos" (1959) : como se menciona en la nota al pie de la página 192, los dos coeficientes difieren, usando nuestros símbolos, por el factor$\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j}$.}