Valor esperado para variables aleatorias mutuamente independientes

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Valor esperado para variables aleatorias mutuamente independientes

Matemáticas
probabilidad
valor esperado
teoría de probabilidad

usuario881752

Dejar $X_1, ..., X_n$ ser variables aleatorias. Muestre que si para cualquier función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ $\beta_1, ... , \beta_n$ , eso

mi [β_{1} (X_{1}) \times . . . \times β_{norte} (X_{norte})] = mi [β_{1} (X_{1})] \times . . . \times mi [β_{norte} (X_{norte})] ⟹ X_{1}, . . ., X_{norte} son mutuamente independientes

$E[\beta_1(X_1) \times ... \times \beta_n(X_n)] = E[\beta_1(X_1)] \times ... \times E[\beta_n(X_n)] \implies X_1, ..., X_n \text{ are mutually independent}$

Aquí es donde estoy con la pregunta hasta ahora:

De la definición de la función de densidad de probabilidad y la independencia mutua, tenemos que

X_{1}, . . ., X_{norte} son mutuamente independientes ⟺ F_{X_{1}, . . ., X_{norte}} (X_{1}, . . ., X_{norte}) = F_{X_{1}} (X_{1}) \times . . . \times F_{X_{norte}} (X_{norte})

$X_1, ..., X_n \text{ are mutually independent} \iff f_{X_1, ..., X_n}(x_1, ..., x_n) = f_{X_1}(x_1) \times ... \times f_{X_n}(x_n)$ Y por la definición de valor esperado:

mi [β_{1} (X_{1}) \times . . . \times β_{norte} (X_{norte})] = \int_{- \infty}^{+ \infty} . . . \int_{- \infty}^{+ \infty} β_{1} (X_{1}) . . . β_{norte} (X_{norte}) F_{X_{1}, . . ., X_{norte}} (X_{1}, . . . X_{norte}) d X_{1} . . . d {norte}_{X}

$E[\beta_1(X_1) \times ... \times \beta_n(X_n)] = \int_{-\infty}^{+\infty} ... \int_{-\infty}^{+\infty}\beta_1(x_1)... \beta_n(x_n)f_{X_1, ..., X_n}(x_1, ... x_n)dx_1 ... dn_x$

mi [β_{1} (X_{1})] \times . . . \times mi [β_{norte} (X_{norte})] = \int_{- \infty}^{+ \infty} β_{1} (X_{1}) F_{X_{1}} (X_{1}) d X_{1} . . . \int_{- \infty}^{+ \infty} β_{norte} (X_{norte}) F_{X_{norte}} (X_{norte}) d X_{norte}

$E[\beta_1(X_1)] \times ... \times E[\beta_n(X_n)] = \int_{-\infty}^{+\infty}\beta_1(x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 ... \int_{-\infty}^{+\infty}\beta_n(x_n)f_{X_n}(x_n)dx_n$ De alguna manera, necesito mostrar que esos dos valores esperados anteriores implican

f_{X_{1}, . . ., X_{n}} (x_{1}, . . ., x_{n}) = f_{X_{1}} (x_{1}) \times . . . \times f_{X_{n}} (x_{n})

$f_{X_1, ..., X_n}(x_1, ..., x_n) = f_{X_1}(x_1) \times ... \times f_{X_n}(x_n)$ , pero no estoy muy seguro de cómo hacerlo.

Jeroen van der Meer

Creo que querrá considerar el caso en el que

(β_{1}, \dots, β_{n})

$(\beta_1,\ldots,\beta_n)$ es una función indicadora en un subconjunto

A

$A$ de

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ , de modo que

E (β_{1} (X_{1}) \times \dots \times β_{n} (X_{n}))

$E(\beta_1(X_1) \times \cdots \times \beta_n(X_n))$ debería ser

P ((X_{1}, \dots, X_{n}) \in A)

$P((X_1,\ldots,X_n) \in A)$ .

usuario881752

@JeroenvanderMeer Pude descubrir la prueba si

β_{1}, . . . β_{n}

$\beta_1, ... \beta_n$ eran funciones indicadoras para el apoyo de

X_{1}, . . ., X_{n}

$X_1, ..., X_n$ , pero no estoy seguro de cómo generalizarlo para funciones arbitrarias. ¿Algun consejo?

Respuestas (1)

Valor esperado para variables aleatorias mutuamente independientes

Creo que querrá considerar el caso en el que $(\beta_1,\ldots,\beta_n)$ es una función indicadora en un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ , de modo que $E(\beta_1(X_1) \times \cdots \times \beta_n(X_n))$ debería ser $P((X_1,\ldots,X_n) \in A)$ .
@JeroenvanderMeer Pude descubrir la prueba si $\beta_1, ... \beta_n$ eran funciones indicadoras para el apoyo de $X_1, ..., X_n$ , pero no estoy seguro de cómo generalizarlo para funciones arbitrarias. ¿Algun consejo?

Jeroen van der Meer · Answer 1

Por simplicidad considere el caso $n = 2$ (el caso general va igual). Dejar $\beta_1$ ser la función indicadora en algún intervalo $[x_1,x_2]$ y $\beta_2$ la función de indicador en $[y_1,y_2]$ . Entonces

mi (β_{1} X_{1} \times β_{2} X_{2}) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} F_{1, 2} (X, y) d X d y

$E(\beta_1 X_1 \times \beta_2 X_2) = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} f_{1,2}(x,y) \,dx\,dy$ mientras

mi (β_{1} X_{1}) \times mi (β_{2} X_{2}) = \int_{X_{1}}^{X_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} F_{1} (X) F_{2} (y) d X d y

$E(\beta_1 X_1) \times E(\beta_2 X_2) = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} f_1(x)\,f_2(y) \,dx\,dy$ Así que lo que vemos es que tenemos dos funciones en

2

$2$ variables, a saber

f_{1, 2} (x, y)

$f_{1,2}(x,y)$ y

f_{1} (x) f_{2} (y)

$f_1(x)\,f_2(y)$ , cuyas integrales dobles son las mismas en todos los cuadrados.

Afirmo que esto es suficiente para concluir que $f_{1,2}(x,y) = f_1(x) \,f_2(y)$ casi en todas partes (es decir, en todas partes si sus funciones son continuas). Si sus funciones son continuas, puede hacer el siguiente argumento. Supongamos que en algún momento $(x,y)$ difieren, digamos $f_{1,2}(x,y) < f_1(x) \,f_2(y)$ , entonces esta desigualdad sigue siendo verdadera en un pequeño vecindario de $(x,y)$ , y podemos elegir nuestro cuadrado lo suficientemente pequeño para asegurar que las dos integrales también sean desiguales. Pero, de manera más general, la conclusión sigue siendo válida si las funciones son simplemente medibles, consulte, por ejemplo, esta respuesta .

¡Gracias por responder! Sigo tu argumento y tiene sentido para mí, sin embargo, un par de preguntas. ¿Cómo se aplica esta respuesta a cualquier función en la que exista el valor esperado, no solo indicadores de conjuntos? Por ejemplo, si $\beta_1 = x^2$ . Hice otra publicación intentando usar tu comentario anterior, ¿hay alguna manera de hacer esta pregunta de la misma manera?
Una vez conocida la igualdad en el caso de que el $\beta_i$ son funciones indicadoras, tienes suficiente para inferir independencia. A partir de la independencia, puede inferir a la inversa que, de hecho, la igualdad se cumple para todos $\beta_i$ .
¡No puedo creer que no me di cuenta de eso! Eso tiene sentido entonces, ¡gracias!

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usuario881752

Jeroen van der Meer

usuario881752

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Jeroen van der Meer

usuario881752

Jeroen van der Meer

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No entiendo esta parte específica del libro de texto sobre unión contable en el libro de teoría de probabilidad [cerrado]