¿Definición de valor esperado incorrecta en el libro? [duplicar]

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¿Definición de valor esperado incorrecta en el libro? [duplicar]

Matemáticas
probabilidad
valor esperado
teoría de colas
procesos-de-renovacion
teoría de probabilidad

Panagiotis Basiouras Serrano

Actualmente estoy hospitalizado y leyendo un libro de teoría de colas. Encontré esto en una prueba, y no entiendo cómo es esto cierto:

mi [R_{j}] = \int_{0}^{\infty} PAG (R_{j} > tu) d tu

$E[R_j]=\int_0^\infty{P(R_j>u)du}$

Aparte del hecho de que $R_j$ es una variable aleatoria definida en $[0,\infty)$ No creo que se necesite más contexto para mi pregunta.

Debido a mi hospitalización, no tengo buen acceso a mis libros de probabilidad más básicos, pero realmente no recuerdo haber leído ninguna definición alternativa similar para el valor esperado.

Si alguien tiene curiosidad o cree que el contexto es importante, en un proceso de renovación estocástica con tiempos de espera $X_j$ , para un valor dado $x>0$ , $R_j$ Se define como $R_j=X_j$ cuando $X_j\le x$ , y $R_j=0$ de lo contrario.

Sin embargo, independientemente del contexto, encuentro que la línea en cuestión es difícil de comprender.

Panagiotis Basiouras Serrano

R_{j}

$R_j$ es de hecho continuo y positivo, simplemente no entiendo por qué la fórmula es verdadera. La única definición de valores esperados de variables aleatorias continuas con la que estoy familiarizado es

E (R_{j}) = \int u P (R_{j} = u) d u

$E(R_j)=\int uP(R_j=u)du$

dominik kutek

Se puede probar (por Fubinii) que para una variable aleatoria no negativa

X

$X$ , ambos

\int_{Ω} X (ω) d P (ω)

$\int_{\Omega} X(\omega)d\mathbb P(\omega)$ (es decir, la definición estándar de expectativa) y

\int_{0}^{\infty} P (X > t) d t

$\int_0^\infty \mathbb P(X >t)dt$ (es decir, su definición de expectativa) da el mismo resultado. Este último se conoce como representación de pastel de capas y se puede generalizar a

E [| X |^{p}] = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb E[|X|^p] = \int_0^\infty pt^{p-1}\mathbb P (|X| > t)dt$ (o incluso más, por ejemplo, funciones de Young)

Panagiotis Basiouras Serrano

Gracias por su respuesta, no sabía sobre la representación del pastel de capas, ¡tendré que estudiar sobre eso!

Enrique

@Surb por qué

R_{j}

$R_j$ tiene que ser continuo? Tiene que ser no negativo, porque la expresión más general sería

E [R_{j}] = \int_{0}^{\infty} P (R_{j} > u) d u - \int_{- \infty}^{0} P (R_{j} < u) d u

$E[R_j]=\int_0^\infty{P(R_j>u)du}-\int_{-\infty}^0{P(R_j<u)du}$

Surb

@Henry: De hecho, la continuidad no es obligatoria.

Enrique

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Respuestas (2)

¿Definición de valor esperado incorrecta en el libro? [duplicar]

$R_j$ es de hecho continuo y positivo, simplemente no entiendo por qué la fórmula es verdadera. La única definición de valores esperados de variables aleatorias continuas con la que estoy familiarizado es $E(R_j)=\int uP(R_j=u)du$
Se puede probar (por Fubinii) que para una variable aleatoria no negativa $X$ , ambos $\int_{\Omega} X(\omega)d\mathbb P(\omega)$ (es decir, la definición estándar de expectativa) y $\int_0^\infty \mathbb P(X >t)dt$ (es decir, su definición de expectativa) da el mismo resultado. Este último se conoce como representación de pastel de capas y se puede generalizar a $\mathbb E[|X|^p] = \int_0^\infty pt^{p-1}\mathbb P (|X| > t)dt$ (o incluso más, por ejemplo, funciones de Young)
Gracias por su respuesta, no sabía sobre la representación del pastel de capas, ¡tendré que estudiar sobre eso!
@Surb por qué $R_j$ tiene que ser continuo? Tiene que ser no negativo, porque la expresión más general sería $E[R_j]=\int_0^\infty{P(R_j>u)du}-\int_{-\infty}^0{P(R_j<u)du}$
También relacionado con math.stackexchange.com/questions/172841/…

Masacroso · Answer 1

Si $X\geqslant 0$ tienes eso

\begin{aligned} mi [X] & = \int_{Ω} X d PAG = \int_{R} t d F_{X} (t) \\ = \int_{[0, \infty)} t d F_{X} (t) \\ = \int_{[0, \infty)} \int_{[0, \infty)} [s ⩽ t] d s d F_{X} (t) \\ = \int_{[0, \infty)} \int_{[0, \infty)} [s ⩽ t] d F_{X} (t) d s \\ = \int_{[0, \infty)} PR [X ⩾ s] d s \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X]&=\int_{\Omega }X dP=\int_{\mathbb{R}}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\int_{[0,\infty )}[s\leqslant t]\,d s\,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\int_{[0,\infty )}[s\leqslant t]\,dF_X(t)\,d s\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s \end{align*}$

dónde $[s\leqslant t]$ es un bracket de Iverson. En general tienes eso

\begin{aligned} mi [X] & = \int_{Ω} X d PAG = \int_{R} t d F_{X} (t) \\ = \int_{[0, \infty)} t d F_{X} (t) + \int_{(- \infty, 0)} t d F_{X} (t) \\ = \int_{[0, \infty)} PR [X ⩾ s] d s + \int_{(- \infty, 0)} \int_{(- \infty, 0)} - [s ⩾ t] d s d F_{X} (t) \\ = \int_{[0, \infty)} PR [X ⩾ s] d s - \int_{(- \infty, 0)} \int_{(- \infty, 0)} [s ⩾ t] d F_{X} (t) d s \\ = \int_{[0, \infty)} PR [X ⩾ s] d s - \int_{(- \infty, 0)} PR [X ⩽ s] d s \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X]&=\int_{\Omega }X dP=\int_{\mathbb{R}}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}t \,dF_X(t)+\int_{(-\infty,0)}t \,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s+\int_{(-\infty,0)}\int_{(-\infty,0)}-[s\geqslant t]\,d s\,dF_X(t)\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s-\int_{(-\infty,0)}\int_{(-\infty,0)}[s\geqslant t]\,dF_X(t)\,d s\\ &=\int_{[0,\infty )}\Pr [X\geqslant s]\,d s-\int_{(-\infty,0)}\Pr [X\leqslant s]\,d s \end{align*}$

Wow, eso tiene mucho sentido, traté de entenderlo integrando por partes, pero así tiene mucho más sentido. ¡Gracias! :)

TickaJules · Answer 2

Permítanme hacer una demostración manual que llegue a la intuición: un caso discreto para que quede más claro. Digamos que tiene un proceso simple que devuelve X, que es 1, 2 o 3 con probabilidades $p_1$ , $p_2$ y $p_3$ . El valor esperado es $1p_1+2p_2+3p_3$ . Otra forma de escribir esto es así:

1 {pag}_{1} +

$1p_1+\hspace{45pt}$

1 {pag}_{2} + 1 {pag}_{2} +

$1p_2+1p_2+\hspace{15pt}$

1 {pag}_{3} + 1 {pag}_{3} + 1 {pag}_{3}

$1p_3+1p_3+1p_3$ Si lees esta suma por columna , obtienes tres términos:

1 p_{1} + 1 p_{2} + 1 p_{3}

$1p_1+1p_2+1p_3$ , y

1 p_{2} + 1 p_{3}

$1p_2+1p_3$ y luego

1 p_{3}

$1p_3$ . la primera parte es

P (X \geq 1)

$P(X\ge 1)$ , la segunda parte es

P (X \geq 2)

$P(X\ge 2)$ y la tercera parte es

P (X \geq 3)

$P(X\ge 3)$ . Entonces el valor esperado es la suma de las probabilidades de excedencia.

¡Muchas gracias! Esa es una forma muy intuitiva de pensar al respecto.

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No entiendo esta parte específica del libro de texto sobre unión contable en el libro de teoría de probabilidad [cerrado]