¿Cómo visualizar el número esperado de ocurrencias en las distribuciones de Poisson y Binomial?

Los siguientes son algunos experimentos de muestra:

En promedio, solo 1 persona en 1000 tiene un tipo de sangre raro en particular.

$p = 1/1,000$, asumir$n = 10,000$

Un anunciante lanza 10 000 folletos en una ciudad que tiene 2000 cuadras. Suponga que cada folleto tiene la misma probabilidad de caer en cada bloque.

$p = 1/2,000, n = 10,000$

En una clase de 80 estudiantes, el profesor llama a 1 estudiante elegido al azar para una recitación en cada período de clase. Hay 32 períodos de clase en un término.

$p = 1/80, n = 32$

Si tengo$P(X = j)$y pidió encontrar el número esperado de$n$dónde$X = j$, creo que la respuesta es$nP(X = j)$. Sin embargo, tengo problemas para visualizar lo que esto significa.

Para el ejemplo de los folletos, ¿dejo caer los 10,000 folletos sobre los 2000 bloques 2000 veces y para un bloque específico, y$2000P(X = j)$es el número de veces que espero que ese bloque tenga$j$folletos? También lo he visto descrito como 10.000 folletos repartidos en las 2.000 manzanas y proporcionalmente, en promedio, habrá$2000P(X = j)$bloques con$j$folletos Esto me confunde porque aunque puedo ver cómo cada prueba (lanzamiento de un solo volante) es independiente entre sí, todos los volantes tienen que aterrizar en los bloques 2000; ¿Cómo es que las restricciones que esto agrega (es decir, que todos los bloques no obtengan folletos es imposible) no afectan la distribución de probabilidad de los folletos?

Si ambos son correctos, también tengo problemas para dibujar la equivalencia entre los dos, ya que, para el ejemplo del estudiante, tener$32P(X = j)$períodos en los que se llama a un estudiante 2, 3, ... veces realmente no tiene sentido si solo tenemos un estudiante elegido por período (pero sí si el 32 es el número de experimentos). De manera similar, para el ejemplo del tipo de sangre, no podemos tener, digamos, 0 y 4 personas en 10 000 con ese tipo de sangre específico, pero esto es posible para diferentes grupos de 10 000.