No entiendo esta parte específica del libro de texto sobre unión contable en el libro de teoría de probabilidad [cerrado]

¿Es porque cuando todos los conjuntos están en una unión, todo se convierte en un gran conjunto?

Esta no es exactamente la razón.

Los conjuntos infinitos vienen en diferentes tamaños. El tamaño más pequeño es el tamaño de los números naturales o, como dijiste, cualquier conjunto que se pueda poner en una relación biyectiva con los números naturales. Dichos conjuntos se denominan "contables" o "contablemente infinitos", porque puedes enumerar sus elementos en orden, el primero, el segundo, el tercero, etc. (Eso es lo que está haciendo la biyección con los números naturales).

Pero algunos conjuntos infinitos son más grandes y no hay biyección con los números naturales. Estos conjuntos se denominan "incontables". Un ejemplo es el conjunto de los números reales. Simplemente no puedes hacer una lista de todos los números reales; cualquier lista de este tipo omite la mayoría de los números. (Si esto parece extraño, es porque lo es. Fue descubierto hace 150 años y todavía estamos tratando de encontrarle sentido).

Ahora suponga que tiene una familia de conjuntos,$\mathcal F$. (Familia significa exactamente lo mismo que "conjunto", pero a veces llamamos "familia" a un conjunto de conjuntos porque suena menos confuso). Cada elemento de la familia$\mathcal F$es un conjunto, tal vez un conjunto de puntos o números o algo así.$\mathcal F$podría ser una familia finita, en cuyo caso podríamos escribir algo como$\mathcal F = \{ S_1, S_2, S_3 \}$(si hay tres conjuntos en la familia), o una familia infinita.

Por grande que sea$\mathcal F$es decir, podemos hablar de la unión de todos los conjuntos en$\mathcal F$. algún elemento$x$está en la unión si es un elemento de algún conjunto en$\mathcal F$.

Si$\mathcal F$es finito, tenemos lo que a veces se llama una "unión finita"; una unión de una familia finita de conjuntos. Supongamos, por ejemplo, que la familia finita consta de los tres conjuntos$S_1, S_2, S_3$, podríamos escribir la unión como

Si$\mathcal F$es infinito podemos hacer algo similar. Dilo

¡Ah, no del todo! Esas notaciones solo tienen sentido si$\mathcal F$es una familia contable de conjuntos. Si no lo es, si es una familia infinita de conjuntos aún más grande, entonces es demasiado grande para que hagamos una lista.$S_1, S_2, S_3,\ldots$. Eso es lo que significa "incontable". En ese caso, esas notaciones no tienen sentido y tenemos que encontrar otra forma de hablar sobre la unión.

La razón por la que esto es importante en la teoría de la probabilidad es que los conjuntos incontables se comportan mal de muchas maneras. (Es por eso que todavía estamos tratando de descifrarlos). Una forma en la que son malos es este: para la teoría de la probabilidad, estamos midiendo qué tan probables son ciertos eventos. Las medidas son números llamados probabilidades. Queremos decir que si evento$A$tiene una probabilidad de$a$y evento$B$tiene una probabilidad de$b$, entonces podemos hacer un evento más grande que consiste en la unión de$A$y$B$, y tendrá una probabilidad no mayor que$a+b$.

Esto funciona para uniones finitas y funciona para uniones contables. Pero no funciona para los sindicatos más grandes. Si tienes una familia incontable de eventos, cada uno de los cuales tiene probabilidad$0$, su unión podría tener una probabilidad de$1$. Esto no sucede con las uniones contables.

Entonces, su libro de texto quiere quedarse con uniones finitas y contables porque no sabemos cómo hacer que la teoría de la probabilidad funcione con uniones más grandes.

La Union$\bigcup_{j\,=\,1}^\infty C_j$se llama unión contable porque el conjunto de índices$j\in\{1,2,3,\ldots\}$es contablemente infinito en lugar de incontablemente infinito.

Un conjunto$\mathcal{M}$se llama contable, si hay una aplicación sobreyectiva$\psi:\mathbb{N}\to \mathcal{M}$. Considere ahora una familia de conjuntos$\{A_i: i\in I\}$con algún conjunto de índices$I$. Si$I$es contable, decimos la union$\bigcup_{i\in I}A_i=\{x: \exists i \in I \text{ s.t. } x\in A_i\}$es una unión contable. Por ejemplo, si$A_i=(i,i+1]$para$i\in\mathbb{N}$podemos escribir$\mathbb{R}_{>0}$como unión contable$\bigcup_{i\in \mathbb{N}}A_i$.

La definición de unión contable en el libro de texto es lo que yo llamaría "infinito numerable" (porque también consideraría conjuntos finitos como contables). La teoría de la probabilidad se trata de medir probabilidades, por lo que debemos encontrar una manera de definir la medida. Esto suena más fácil de lo que es, existen algunas paradojas que surgen si no definimos las medidas correctamente ( https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set o https://en.wikipedia.org/wiki/Banach–Tarski_paradox ).

La definición actual de medidas de probabilidad se basa en los axiomas de Kolmogorov ( https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms#Axioms ) que se basa en un espacio de medida subyacente. Entonces, si el$A_i$son algunos eventos con una cierta probabilidad, queremos que una unión contable sea nuevamente un evento para el cual se pueda medir una probabilidad.