Valor esperado del hamiltoniano en diferentes imágenes de la mecánica cuántica

Empezamos con la conocida ecuación de Schrödinger:

$$i\hbar \frac{\partial \left|\psi_S\right\rangle}{\partial t} = \hat{H}_S \left|\psi_S\right\rangle$$

A medida que cambiamos a una imagen diferente a la imagen de Schrödinger con una transformación unitaria$\hat U$:

$$\left|\psi_S\right\rangle = \hat{U}\left|\psi_P\right\rangle$$ ( $S$indicando la imagen de Schrödinger y $P$indicando la imagen arbitraria) Si conectamos $\left|\psi_S\right\rangle = \hat{U}\left|\psi_P\right\rangle$en la ecuación de Schrödinger, obtenemos:

$$i\hbar \frac{\partial \left|\psi_P\right\rangle}{\partial t} = \hat{H}_P \left|\psi_P\right\rangle$$ dónde $$\hat{H}_P = U^\dagger \hat{H_S} U - i\hbar U^\dagger \frac{\partial U}{\partial t}$$ es el hamiltoniano en esta imagen arbitraria.

Entonces, la pregunta es: si el hamiltoniano es un observable, ¿no debería tener los mismos valores esperados en ambas imágenes? Sin embargo, el segundo término en$\hat H_P$los hace desiguales. Porque:

$$\left\langle\psi_P\right|\hat{H}_P\left|\psi_P\right\rangle = \left\langle\psi_P\right| U^\dagger \hat{H_S} U \left|\psi_P\right\rangle - i\hbar \left\langle\psi_P\right| U^\dagger \frac{\partial U}{\partial t}\left|\psi_P\right\rangle$$ esto se simplifica a: $$\left\langle\psi_P\right|\hat{H}_P\left|\psi_P\right\rangle = \left\langle\psi_S\right| \hat{H_S} \left|\psi_S\right\rangle - i\hbar \left\langle\psi_P\right| U^\dagger \frac{\partial U}{\partial t}\left|\psi_P\right\rangle$$ diciéndonos que los valores esperados en dos imágenes diferentes no son los mismos. No veo una razón por la que el último término deba ser cero. ¿Que esta mal aquí? ¿Es el hamiltoniano algo diferente de otros observables?