Resolución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en forma matricial

Si tenemos un espacio de Hilbert de C 3 de modo que una función de onda es un vector columna de 3 componentes

ψ t = ( ψ 1 ( t ) , ψ 2 ( t ) , ψ 3 ( t ) )
con hamiltoniano H dada por
H = ℏ ω ( 1 2 0 2 0 2 0 2 − 1 )
Con
ψ t ( 0 ) = ( 1 , 0 , 0 ) T
Así que procedí a encontrar los estados estacionarios de H encontrando sus autovectores y autovalores. H tiene valores propios y vectores propios:
3 ℏ ω , 0 , − 3 ℏ ω
ψ + = 1 3 ( 2 , 2 , 1 ) T , ψ 0 = 1 3 ( 2 , − 1 , − 2 ) T , ψ − = 1 3 ( 1 , − 2 , 2 ) T
Respectivamente.

¿Alguien podría explicarme cómo pasar de esto a una solución general dependiente del tiempo y calcular las probabilidades de ubicación? solo me he encontrado Ψ = Ψ ( X , y , z , t ) antes, por lo que estoy extremadamente confundido por este formato de matriz.

Estaría muy agradecido por cualquier ayuda!

Respuestas (1)

La solución general es

ψ ( t ) = ∑ k C k mi − i t mi k / ℏ ψ k
donde el ψ k formar una base de vectores propios con valores propios correspondientes mi k , y el C k son constantes.

Puede igualar condiciones iniciales arbitrarias en t = 0 expandiendo el estado inicial en la base propia; esto determinará el valor para el C k .

[Editar] Para obtener la interpretación estadística: la expectativa del observable hermitiano A en el momento t se da en la imagen de Schroedinger por

⟨ A ⟩ t := ψ ( t ) ∗ A ψ ( t ) .
Aquí se supone que ψ ( t ) tiene norma 1. Como la norma al cuadrado es preservada por la dinámica, esto da una expectativa bien definida (es decir, la expectativa de la matriz identidad es 1 en todo momento).

Ok, bueno eso es lo que imaginaba hacer, no estaba seguro. Pero, lo que es más importante, ¿cómo interpreta esto probabilísticamente en forma de matriz?
Tu C = 0 significar C ( t = 0 ) ?
El C k son constantes y t faltaba en el exponente de la primera fórmula. C = 0 quiso decir t = 0 . Corregí ambos errores; Lo siento.
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