Términos individuales en una matriz hamiltoniana

Referencia al Problema 2, Capítulo 2 en Modern Quantum Mechanics por JJ Sakurai ,

Considere el siguiente hamiltoniano de un sistema de dos estados

H = H 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + H 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | + H 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | ,
o, escrito como una matriz como
H = ( H 11 H 12 0 H 22 ) .
Este hamiltoniano no es hermitiano y, por lo tanto, el operador de evolución temporal no es unitario. Por lo tanto, se viola la conservación de la probabilidad.

Esto es claro.

Se afirma que, físicamente, el sistema puede pasar del estado 2 al estado 1 pero no del estado 1 al estado 2.

¿Cómo llegamos a la última afirmación?

¿Qué extraemos físicamente de los términos individuales de un operador hermitiano con términos

H 11 = ⟨ 1 | H | 1 ⟩ H 12 = ⟨ 1 | H | 2 ⟩ H 22 = ⟨ 2 | H | 2 ⟩ H 21 = ⟨ 2 | H | 1 ⟩ ?

Hola. Dígame si esta publicación ayuda: physics.stackexchange.com/q/209350 Gracias.
Simplemente expóngalos para obtener los componentes del operador de evolución temporal; entonces debería quedar claro por qué se hace esa declaración "física".

Respuestas (2)

Funciona igual que en la mecánica clásica: el hamiltoniano genera traslaciones de tiempo infinitesimales. Tome la ecuación de Schrödinger,

i d d t | ψ ⟩ = H | ψ ⟩
y ampliarlo para tiempos pequeños. Entonces
| ψ ( t ) ⟩ ≈ ( 1 − i H t ) | ψ ( 0 ) ⟩ .
Eso es, H | ψ ⟩ te dice que | ψ ⟩ se convertirá instantáneamente en. Si, ⟨ 2 | H | 1 ⟩ = 0 , no hay evolución al estado 2 desde el estado 1.

Puedes resolver el problema directamente. Asumiendo una ecuación similar a la de Schrödinger con un "Hamiltoniano" muy simple,

i d d t [ ψ 1 ( t ) ψ 2 ( t ) ] = [ 1 1 0 1 ] [ ψ 1 ( t ) ψ 2 ( t ) ] ,
es sencillo demostrar que la solución a esta ecuación es
| ψ ( t ) ⟩ → mi − i t [ ψ 1 ( 0 ) − i t ψ 2 ( 0 ) ψ 2 ( 0 ) ] .
Por lo tanto, si el sistema comienza en el estado
| ψ ( 0 ) ⟩ → [ 1 0 ] ,
esto significa que ψ 2 ( 0 ) = 0 , y es claro que el sistema permanece en el estado 1.

Esto se puede generalizar fácilmente al hamiltoniano general en el OP, pero esto es suficiente para entender el punto.

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