Vacío y gravedad repulsiva

Las ecuaciones de campo de Einstein en realidad no dicen nada sobre la naturaleza de la materia. Su estructura es que relacionan una cierta medida de la curvatura del espacio-tiempo G con el tensor de tensión-energía T:$G_{ab}=8\pi T_{ab}$. El tensor tensión-energía describe cualquier materia que esté presente; es cero en el vacío. Trivialmente, puede escribir cualquier ecuación que desee que describa un espacio-tiempo arbitrario que haya inventado, y luego, al calcular G, puede encontrar la T que se requiere para permitir la existencia de ese espacio-tiempo. Sin embargo, ese T puede tener propiedades diferentes a las de cualquier tipo conocido de materia. T tiene una estructura muy específica para ciertos tipos de materia, como la radiación electromagnética o "polvo" (es decir, un fluido perfecto hecho de partículas que tienen velocidades$\ll c$entre sí). Hay varias conjeturas, llamadas condiciones de energía, acerca de qué tipos de tensores de tensión-energía son físicamente posibles para tipos reales de materia. Tienen nombres como condición de energía débil (WEC), condición de energía fuerte (SEC), etc. La WEC equivale a una afirmación de que la densidad de energía nunca es negativa en ningún marco de referencia. Si se violó, entonces podría obtener una gravedad repulsiva. Básicamente, se sabe que todas las condiciones de energía se violan en algunas circunstancias. Aquí hay una buena discusión sobre eso: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0205066

La constante cosmológica a veces se toma como un término separado en las ecuaciones de campo de Einstein, pero también se puede tratar como un tipo de materia con cierta contribución al tensor de tensión-energía. Un espacio-tiempo con solo una constante cosmológica, y nada más en él, viola varias condiciones de energía.

Necesitamos un significado operativo claro sobre lo que significa que la gravedad sea "repulsiva". Si pensamos en ello demasiado ingenuamente... digamos un observador distante en el espacio-tiempo de Schwarzschild viendo la órbita de una partícula, para quien el tiempo de Schwarzschild$t$tiene un significado operacional claro y coordenadas radiales de Schwarzschild$r$es bastante bueno. ¿Puede la órbita tener positivo?$d^2r/dt^2$, es decir, ¿tiene aceleración hacia afuera en lugar de hacia adentro? Sí, absolutamente: de hecho, debe ser así, porque en esas coordenadas una partícula en caída libre radial nunca llega al horizonte.

Pero eso es simplemente perverso. Busquemos una definición operativa local . Por ejemplo, tome una pequeña colección (cerca una de la otra) de partículas de prueba comóviles, de cuatro velocidades$u$, y ver lo que hacen. Su desviación geodésica viene dada por el tensor de curvatura de Riemann, y si tenemos una pequeña bola de volumen$V$, entonces

$$\lim_{V\to 0}\frac{\ddot{V}}{V}\vert_{t=0} = -R^\alpha{}_{\mu\alpha\nu} u^\mu u^\nu,$$ y este tensor de Riemann contraído es la curvatura de Ricci $R_{\mu\nu}$. Así, el comportamiento atractivo o repulsivo de la bola de partículas de prueba está dado por la curvatura de Ricci.

Eche un vistazo a la condición de energía fuerte: para cada vector temporal que apunta al futuro$u$,

$$\left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right)u^\mu u^\nu \geq 0.$$ No es inmediatamente obvio lo que esto realmente significa, pero al contraer la ecuación de campo de Einstein $R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$te atrapa $R - \frac{1}{2}Rg^\mu{}_\mu = 8\pi T$, es decir, $R = -8\pi T$: el escalar de Ricci es sólo la traza negativa del tensor tensión-energía, hasta una constante. Reemplazando en la ecuación de campo, y listo: $$R_{\mu\nu} = 8\pi\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Tg_{\mu\nu}\right),$$ entonces la SEC solo dice que $R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \geq 0$.

Conclusión: para esta noción local razonable de lo que significa que la gravedad sea atractiva/repulsiva, la gravedad es no repulsiva si, y solo si, se mantiene la condición de energía fuerte .

En el caso de un fluido perfecto,$T^{\mu\nu} = (\rho+p)u^\mu u^\nu + pg^{\mu\nu}$, de modo que$T = T^\mu{}_\mu = -\rho + 3p$. Desde el marco que se mueve con el fluido, la sustitución da$\rho + 3p\geq 0$. Por otro lado, acercándose a una luz$u$en una de las direcciones espaciales da$\rho + p\geq 0$, estando justificado este paso por la continuidad.

Dado que la ecuación de campo de Einstein con una constante cosmológica simplemente agrega un$\Lambda g_{\mu\nu}$opuesto al tensor tensión-energía, es equivalente a un fluido perfecto con densidad$\rho = \Lambda/8\pi$y presión$p = -\Lambda/8\pi$. Por lo tanto, necesitamos una densidad de energía de vacío positiva para romper el SEC.

En el contexto de la Relatividad General, las pequeñas partículas de prueba se mueven en las geodésicas . Una geodésica es una generalización de una línea recta (por ejemplo, en una superficie curva como una pelota de fútbol). Las geodésicas están determinadas por la métrica$g_{\mu \nu}$.

La ecuación de Einstein es$G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}$.

$G_{\mu \nu}$consiste en la métrica$g_{\mu \nu}$y sus derivados.

$T_{\mu \nu}$es materia y tiene formas específicas según la materia presente, como polvo, radiación o lambda. Tu puedes pensar en$T_{\mu \nu}$como entrada al problema, como una estrella pesada sentada en el centro del espacio vacío.

Debido a la forma concreta de$G_{\mu \nu}$como escribió Einstein, cuando resuelves la ecuación para el polvo o la radiación,$g_{\mu \nu}$será tal que las partículas de prueba parecerán ser atraídas por la materia descrita por$T_{\mu \nu}$. Para una estrella pesada situada en el centro del espacio vacío, las geodésicas de las partículas de prueba que vienen de muy lejos se doblarán hacia la estrella pesada. Esta solución es famosa por ser la primera solución explícita de un problema en el marco de la Relatividad General, y se llama solución de Schwarzschild o métrica de Schwarzschild en honor a Karl Schwarzschild.