¿Solo es posible el vacío en el gran límite DDD de la Relatividad General?

Sí, las dimensiones superiores cambian la forma en que la materia genera gravedad; un ejemplo particular es el teorema de desprendimiento (ver Godazgar, Reall Peeling of the Weyl tensor and gravitational radiation in high heights y referencias allí) - la gravedad cae más rápido con el crecimiento$D$. Pero se necesita un modelo físico específico para convertir estas declaraciones matemáticas en una conclusión física real.

Conclusiones como "sólo se permiten soluciones de vacío en el$D\to \infty$límite" no tienen sentido sin el contexto físico adecuado porque ciertamente se permiten soluciones que no son de vacío para cada miembro de la secuencia límite.

Solo puedo imaginar que su declaración signifique algo como lo siguiente: "Si tenemos estas y estas densidades de materia fijas (número de partículas, temperaturas,...), y estas y estas escalas de las constantes fundamentales (recuerde que tanto la velocidad de la luz y la constante gravitatoria de Newton son constantes fijadas fenomenológicamente por fenómenos físicos reales y permanecen ocultas en sus unidades geometrizadas), las soluciones convergerán en soluciones de vacío como$D \to \infty$."

Sin embargo, incluso así, no puede hacer que tales declaraciones funcionen sin un modelo de materia específico. Por ejemplo, el tensor de energía de tensión de cualquier partícula sin masa, como los fotones, no tiene rastro. Es decir, hay espacio-tiempos con$R=R_0$que ciertamente no son de vacío y todo el argumento se desmorona.

Entonces, discutiré rápidamente lo que sigue para$R-R_0$para un modelo en particular, el fluido perfecto.

Considere el fluido perfecto relativista, para el cual el fluido de energía de tensión en el marco comóvil es

Estimemos energía/temperatura asumiendo que estamos tratando con un gas ideal. (Denoto temperatura por$\mathcal{T}$de modo que no se confunda con trazas de tensión-energía.) La aproximación no relativista para el gas ideal se mantiene mientras$D k_B \mathcal{T} \ll m$($m$es la masa de las partículas del gas) pero nuestro$D$será infinito por lo que en realidad podemos cambiar directamente al límite ultrarrelativista$D k_B \mathcal{T} \gg m$. para cualquier temperatura finita.

En este límite tenemos$\varepsilon \approx D n k_B\mathcal{T}, P = n k_B T$, dónde$n$es la densidad numérica de las partículas. Entonces ves que la traza es simplemente$T = n k_B\mathcal{T}$y la contribución térmica a$R-R_0$se cae como$1/D$.

Sin embargo, la energía que necesita para calentar el gas a esta temperatura aumenta con$D$. Es decir, para una cantidad fija de energía térmica invertida por partícula y a densidades de partículas fijas en unidad de volumen, la contribución a$R-R_0$caídas de como$1/D^2$.

Considere otro ejemplo, para un gas a temperatura cero ("polvo") tenemos$P=0$y$\varepsilon = mn$.$mn$es simplemente la densidad de energía en reposo y su contribución a$R-R_0$se cae como$1/D$. Es decir, se puede concluir que al menos para un gas ideal y una cantidad fija de energía por unidad de volumen,$R-R_0$siempre se caerá al menos tan rápido como$1/D$.

Para ser honesto, es difícil encontrar argumentos intuitivos para esto porque ciertamente no es así.$R-R_0 \to 0$necesariamente significa gravedad debilitada. Esto se debe a que las ecuaciones completas de Einstein (con una escala adecuada de la constante cosmológica) aún pueden acoplarse a la materia de manera muy similar.$R-R_0 \to 0$simplemente significa que el carácter de la gravedad cambia en gran dimensión a algún tipo de gravedad acoplada conforme. (No es de extrañar aquí, sabemos que incluso en$D=5$Muchas cosas cambian en comparación con$D=4$.)

Además, todavía sería muy cuidadoso al evaluar que la gravedad de gran dimensión hace$R-R_0$desaparecen sin referirse al marco en el que está trabajando. Una razón es que, dependiendo de cómo relacione su gravedad de dimensiones superiores con la realidad, puede tener una$\sim D$factor incorporado en la constante gravitacional frente al tensor de energía de tensión en las ecuaciones de Einstein para estar de acuerdo incluso con la fenomenología newtoniana más cruda en alguna hipersuperficie 4D (efectiva/integrada/privilegiada) que representa nuestro universo.