simetrías

Simetrías del tensor de curvatura de Riemann:

$$\begin{align}{R_{\left(ab\right)c}}^d&=0\tag{1}\\ R_{ab\left(cd\right)}&=0\tag{2}\\{R_{abc}}^d+{R_{bca}}^d+{R_{cab}}^d&=0\tag{3}\\ R_{abcd}&=R_{cdab}\tag{4}\end{align}$$

donde los paréntesis encierran índices,$\left(\ldots\right)$, denota la parte simétrica del tensor en estos índices:$T_{\left(ab\right)}\equiv\frac{1}{2}\left(T_{ab}+T_{ba}\right)$.

Se puede demostrar a partir de estas simetrías que en un$N$espacio-tiempo dimensional, hay$\frac{1}{12}N^2\left(N^2-1\right)$componentes independientes y generalmente distintas de cero del tensor de curvatura de Riemann.

Restricción

$$\begin{align}R_{ab}&\equiv {R_{cab}}^c\\\therefore R_{ab}=0\implies0&={R_{cab}}^c\tag{5}\end{align}$$

como conmutación$a$y$b$dará una ecuación idéntica por simetría (4) seguida por ambas simetrías (1) y (2) entonces hay$\frac{1}{2}N\left(N+1\right)$ecuaciones linealmente independientes. Cada ecuación linealmente independiente reduce el número de componentes independientes generalmente distintos de cero en uno.

Cuando$N=1$, la restricción (5) es equivalente a las cuatro simetrías, por lo que el número de componentes distintos de cero sigue siendo cero. Cuando$N=2$, la restricción 5 da las siguientes 3 ecuaciones:

$$\cases{{R_{000}}^0+{R_{100}}^1=0&(6a)\\{R_{001}}^0+{R_{101}}^1=0&(6b)\\{R_{011}}^0+{R_{111}}^1=0&(6c)}$$

Ambos términos en (6b) son cero por simetrías (1) y (2), respectivamente. Mientras que el primer término de (6a) es cero por simetría (1) o (2) e igualmente el segundo término de (6c) es cero. Finalmente,${R_{100}}^1\equiv{R_{011}}^0$por simetría (4) seguido por (1) y (2) por lo que estas tres ecuaciones se reducen a una única ecuación linealmente independiente y, una vez más, el número de componentes independientes generalmente distintos de cero es cero.

Sin embargo, por$N\ge3$, creo que la restricción (5) es linealmente independiente de las cuatro simetrías y, por lo tanto, el número de componentes independientes generalmente distintos de cero$C$será:

$$C=\begin{cases}0,&N\in\left\{1,2\right\}\\\displaystyle\frac{1}{2}\left(N+1\right)\left(\frac{1}{6}N^2\left(N-1\right)-N\right),&N\ge3\\\end{cases}$$

Sin embargo, si me he perdido algún uso de las cuatro simetrías anteriores para$N\ge3$(por favor hágamelo saber en los comentarios) habrá menos ecuaciones linealmente independientes y así$C$aumentará, pero aún debe estar limitado por$C\le\frac{1}{12}N^2\left(N^2-1\right)$. Por lo tanto, el límite más flexible en$C$es:

$$\frac{1}{2}\left(N+1\right)\left(\frac{1}{6}N^2\left(N-1\right)-N\right)\le C\le\frac{1}{12}N^2\left(N^2-1\right)\quad\text{for }N\ge3$$

Estos límites se trazan a continuación:

Así, en el espacio-tiempo 3D,$C=0$y, curiosamente, el espacio-tiempo 4D (en el que vivimos) tiene el primer valor distinto de cero$C=10$.

Curvo o Plano

Finalmente, el espacio-tiempo sólo es plano si${R_{abc}}^d$se desvanece, por lo que el espacio-tiempo es plano en 1D, 2D y 3D cuando$R_{ab}=0$pero en general todavía está curvado en 4D y cualquier dimensión superior. Por lo tanto, el espacio-tiempo 4D se puede curvar en un punto donde el tensor de energía-momento se desvanece, pero si es curvo o plano lo dictarán las condiciones de contorno. Por ejemplo, el espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo se curva debido a la masa del objeto aunque el espacio alrededor del objeto esté vacío.

¡Finalmente, esto significa que en un universo vacío el espacio sí podría ser curvo! Sin entrar en muchos detalles, aplicamos los principios de homogeneidad e isotropía para obtener$R_{abcd}=K\left(\gamma_{ac}\gamma_{bd}-\gamma_{ad}\gamma_{bc}\right)$dónde$g_{ij}=-a^2\left(t\right)\gamma_{ij}$y$i,j\ne0$son los componentes espaciales de la métrica: esta es la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . Esto da$R_{00}=3\frac{\ddot a}{a}$y$R_{ij}=-\frac{1}{c^2}\left(\ddot aa+2\dot a^2+2Kc^2\right)\gamma_{ij}$y así con la restricción anterior, esto da$\ddot a=0$y entonces$K=-\frac{\dot a^2}{c^2}$. Así, en un universo vacío$R_{abcd}=-\frac{\dot a^2}{c^2}\left(\gamma_{ac}\gamma_{bd}-\gamma_{ad}\gamma_{bc}\right)$dónde$\dot a$es una constante real y$a,b,c,d\ne0$.