¿La constante cosmológica como multiplicador de Lagrange?

Question

¿La constante cosmológica como multiplicador de Lagrange?

acción
gravedad
Física
cosmología
relatividad general
constante cosmológica

Cham

La constante cosmológica $\Lambda$ se puede introducir en la acción gravitacional así:

S = \frac{1}{2 k} \int_{Ω} (R - 2 Λ) \sqrt{- gramo} d^{4} X + términos de la materia .

$\begin{equation} S = \frac{1}{2 \kappa} \int_{\Omega} (R - 2 \Lambda) \sqrt{-g} \; d^4 x + \text{matter terms}. \end{equation}$ La región del espacio-tiempo

Ω

$\Omega$ es arbitrario aquí. Ahora, lo que me asombra es que también podemos escribir esto:

\begin{matrix} (1) & - \frac{Λ}{8 π GRAMO} \int_{Ω} \sqrt{- gramo} d^{4} X = - \frac{Λ V_{4}}{8 π GRAMO}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} -\: \frac{\Lambda}{8 \pi G} \int_{\Omega} \sqrt{-g} \; d^4 x = -\: \frac{\Lambda \, \mathcal{V}_4}{8 \pi G}, \end{equation}$ dónde

V_{4}

$\mathcal{V}_4$ es el volumen 4 de la región del espacio-tiempo

Ω

$\Omega$ . Entonces, la constante cosmológica

Λ

$\Lambda$ puede interpretarse como la "variable" conjugada de

V_{4}

$\mathcal{V}_4$ , y como un multiplicador de Lagrange asociado a una restricción de 4 volúmenes. Podríamos suponer que desde

V_{4}

$\mathcal{V}_4$ debe ser muy grande y la acción

S

$S$ "razonable", entonces

Λ

$\Lambda$ debe ser pequeño Mi intuición me dice que debería haber una ecuación como esta:

\begin{matrix} (2) & Λ V_{4} \sim Λ_{máximo} V_{min}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \Lambda \, \mathcal{V}_4 \sim \Lambda_{\text{max}} \mathcal{V}_{\text{min}}, \end{equation}$ dónde

V_{min}

$\mathcal{V}_{\text{min}}$ es el volumen más pequeño de 4 que es físicamente significativo;

V_{min} \approx ℓ_{P}^{4}

$\mathcal{V}_{\text{min}} \approx \ell_{\text{P}}^4$ (

ℓ_{P}

$\ell_{\text{P}}$ es la longitud de Planck), y

Λ_{max} \approx ℓ_{P}^{- 2}

$\Lambda_{\text{max}} \approx \ell_{\text{P}}^{-2}$ es el valor "natural" asociado al vacío cuántico. entonces obtenemos

\begin{matrix} (3) & Λ \sim \frac{ℓ_{PAGS}^{2}}{V_{4}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \Lambda \sim \frac{\ell_{\text{P}}^2}{\mathcal{V}_4}, \end{equation}$ que por lo tanto es muy pequeño. La relación

Λ V_{4} \approx ℓ_{P}^{2} \propto ℏ

$\Lambda \, \mathcal{V}_4 \approx \ell_{\text{P}}^2 \propto \hbar$ es también similar a una relación de incertidumbre de Heisenberg;

Δ t Δ E \geq ℏ

$\Delta t \, \Delta E \ge \hbar$ , lo cual no es de extrañar ya que la constante cosmológica se introduce al nivel de la acción !

¿Podemos hacer más "rigurosa" la idea anterior? ¿Tiene sentido interpretar $\Lambda$ como un multiplicador de Lagrange asociado a un volumen 4 restringido introducido en la acción?

Si el universo es espacialmente cerrado ( $k = 1$ ) y también cerrado en el tiempo (sobre todo si $\Lambda$ era negativo), entonces el volumen 4 de todo el universo sería finito.

¿Alguna opinión sobre esto?

Cham

Acabo de encontrar una página web con una descripción muy similar a la que mostré arriba: ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept02/Padmanabhan/Pad7.html . Desafortunadamente, no hay más detalles sobre este punto de vista sobre la constante cosmológica como multiplicador de Lagrange.

alex nelson

Uno podría estar interesado en leer el Apéndice X.7 en Einstein Gravity in a Nutshell de Zee, que cita arXiv:gr-qc/0505104 y arXiv:0711.3170 .

Guillermo J. Cunningham

Esta es una parte central del enfoque del conjunto causal de la gravedad cuántica, consulte arxiv.org/pdf/0706.0041.pdf entre otras referencias .

Respuestas (1)

¿La constante cosmológica como multiplicador de Lagrange?

Acabo de encontrar una página web con una descripción muy similar a la que mostré arriba: ned.ipac.caltech.edu/level5/Sept02/Padmanabhan/Pad7.html . Desafortunadamente, no hay más detalles sobre este punto de vista sobre la constante cosmológica como multiplicador de Lagrange.
Uno podría estar interesado en leer el Apéndice X.7 en Einstein Gravity in a Nutshell de Zee, que cita arXiv:gr-qc/0505104 y arXiv:0711.3170 .
Esta es una parte central del enfoque del conjunto causal de la gravedad cuántica, consulte arxiv.org/pdf/0706.0041.pdf entre otras referencias .

Cham · Answer 1

Solo una "respuesta" parcial e ingenua, utilizando el principio de incertidumbre.

Un observador realiza una medición de energía en un volumen vacío . $V_3$ durante un intervalo de tiempo $\Delta t$ . De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, obtendrá una incertidumbre $\Delta E$ en la medida de la energía:

\begin{aligned} Δ t Δ mi & \approx Δ t ρ_{vacaciones} Δ V_{3} \\ = Δ t \frac{Λ C^{4}}{8 π GRAMO} Δ V_{3} \\ = \frac{Λ Δ V_{4} C^{3}}{8 π GRAMO} \geq \frac{ℏ}{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \Delta t \; \Delta E &\approx \Delta t \; \rho_{\text{vac}} \, \Delta V_3 \\[12pt] &= \Delta t \; \frac{\Lambda \, c^4}{8 \pi G} \; \Delta V_3 \\[12pt] &= \frac{\Lambda \; \Delta\mathcal{V}_4 \; c^3}{8 \pi G} \ge \frac{\hbar}{2}, \end{align}$ donde he insertado la incertidumbre en 4 volúmenes de la región del espacio-tiempo que el observador está estudiando;

Δ V_{4} = c Δ t Δ V_{3}

$\Delta\mathcal{V}_4 = c \, \Delta t \; \Delta V_3$ . De este modo

\begin{matrix} (1) & Λ Δ V_{4} \geq 4 π ℓ_{PAGS}^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \Lambda \; \Delta \mathcal{V}_4 \ge 4 \pi \, \ell_{\text{P}}^2. \end{equation}$ Aparentemente, la constante cosmológica

Λ

$\Lambda$ depende del tamaño de la región del espacio-tiempo que se muestrea. ¡Esto es raro!

También podríamos invertir el resultado, diciendo que dado algún valor experimental de $\Lambda$ , entonces la porción de espacio-tiempo accesible a cualquier observador tendría una incertidumbre restringida por

\begin{matrix} (2) & Δ V_{4} \geq \frac{4 π ℓ_{PAGS}^{2}}{Λ_{Exp}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \Delta\mathcal{V}_4 \ge \frac{4 \pi \, \ell_{\text{P}}^2}{\Lambda_{\text{exp}}}. \end{equation}$ La longitud de Planck es

ℓ_{P} \approx 1.6 \times 10^{- 35} m

$\ell_{\text{P}} \approx 1.6 \times 10^{-35} \text{m}$ . El valor actual de la constante cosmológica es

Λ_{exp} \sim 10^{- 52} m^{- 2}

$\Lambda_{\text{exp}} \sim 10^{-52} \text{m}^{-2}$ , que da la incertidumbre más pequeña en el volumen 4:

\begin{matrix} (3) & Δ V_{4 min} \sim 3 \times 10^{- 17} {metro}^{4} \sim (0.0757 milímetro)^{4} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \Delta \mathcal{V}_{4 \, \text{min}} \sim 3 \times 10^{-17} \text{m}^4 \sim (0.0757 \text{mm})^4. \end{equation}$ (Nota: el volumen 4 de nuestro universo observable es

V_{4} = c Δ t V_{3} \sim (5 \times 10^{26} m)^{4}

$\mathcal{V}_4 = c \, \Delta t \; \mathcal{V}_3 \sim (5 \times 10^{26} \text{m})^4$ )

El problema con esta "respuesta" es que no dice por qué $\Lambda$ podría interpretarse como un multiplicador de Lagrange que se suma a la acción total del universo.

Hay un error en el razonamiento anterior: el volumen $V_3$ y 4 volúmenes $\mathcal{V}_4$ debe ser reemplazado con sus incertidumbres ; $\Delta V_3$ y $\Delta \mathcal{V}_4$ , respectivamente. Entonces el $\Delta\mathcal{V}_4 \sim 10^{-17} \text{m}^4$ tiene sentido, en realidad! Haré los cambios más tarde.

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alex nelson

Guillermo J. Cunningham

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