Usos de la acción de la mecánica lagrangiana

Puedo pensar en dos usos inmediatos de la acción.$S$mismo en la relatividad general. El primero para derivar la entropía de un agujero negro de Schwarzschild y el segundo para calcular la tasa de nucleación de los instantes que emergen debido a los procesos de tunelización de un vacío falso a uno verdadero.

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Entropía de Bekenstein-Hawking

Para calcular la entropía, usamos un enfoque semiclásico. Normalmente, uno define una función de partición,

$$Z\sim \mathrm{tr} \, e^{-\beta H}$$

con$\beta^{-1}=k_BT$, dónde$H$es el hamiltoniano. El enfoque es más bien ad hoc , pero observe aproximadamente,

$$H = \int d^3x \, \mathcal{H} \sim \frac{1}{\beta}\int d^4x \, \mathcal{H} \sim \frac{1}{\beta}I_E$$

dónde$I_E$es la acción euclidiana que para nuestro caso dice,

$$I_E = \frac{1}{16\pi G}\int_M d^4x \, \sqrt{|g|} R + \frac{1}{8\pi G} \int_{\partial M} d^3x \, \sqrt{|h|} K$$

que es la acción de Einstein-Hilbert complementada por el término de Gibbons-Hawking para dar cuenta de la contribución del límite de la variedad. Para la gravedad de Einstein, esperamos$Z$estar dominado por las soluciones clásicas, es decir,

$$Z \sim \sum_{\mathrm{class \, solns}} e^{-\beta I_E}$$

Tanto para los agujeros negros de Kerr como para los de Schwarzschild, el escalar de Ricci se desvanece. Sin embargo, tienen un término límite distinto de cero que contribuirá a la función de partición. Entonces, nuestra métrica es,

$$ds^2 = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

dónde$\tau$es una coordenada periódica, con periodicidad$8\pi GM$. Temporalmente, imponemos un corte$R >> GM$, y la métrica en el límite es simplemente la métrica de Schwarzschild sin la$dr^2$término, evaluado en el corte,$R$. La curvatura extrínseca viene dada por la divergencia de la normal,

$$K=\nabla_a n^a = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \sqrt{1-\frac{2GM}{r}} = -\frac{2}{r}\sqrt{1-\frac{2GM}{r}} - \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}}$$

evaluado en$R$. El integrando de la acción es independiente de$\tau,\theta,\phi$, y la integración es trivial. Se obtiene una dependencia del corte,$R$, y para obtener un límite finito como$R\to\infty$se resta la acción euclidiana del espacio de Minkowski con el mismo límite. Eventualmente, uno encuentra,

$$I_E = \frac{1}{2}\beta M.$$

Conectándolo a la función de partición y computación,

$$S = -\beta^2 \frac{\partial}{\partial \beta} \beta^{-1} \ln Z$$

uno encuentra el resultado$S = 4\pi G M^2$, o en términos de área,$A/4G$en unidades naturales.

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Nucleación de burbujas

La segunda aplicación es la nucleación de burbujas, estudiada por primera vez por Coleman y de Luccia. La idea general es que uno tiene una teoría de campo que tiene un vacío verdadero y un vacío falso, pero la diferencia de potencial es mínima. En cada región, el tensor de tensión-energía será diferente y, por lo tanto, la geometría del espacio-tiempo. Coleman y de Luccia estudiaron los procesos de tunelización desde el falso vacío hasta el verdadero vacío, lo que implicaba la nucleación de un instantón o burbuja. En su artículo original, el Lagrangiano fue dado por,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial \phi)^2 - \frac{\lambda}{2}(\phi^2-\eta^2)^2 - \frac{\epsilon}{2\eta}(\phi-\eta)$$

El vacío clásico$\phi = \eta$es un verdadero vacío, pero$\phi=-\eta$no lo es, aunque la diferencia es$\epsilon$. La acción entra en escena porque puede usarse para evaluar la tasa,

$$\Gamma \propto e^{-I_B}$$

dónde$I_B$es la acción de rebote , que es la acción calculada para la pared menos la acción para el espacio dentro de la pared. Coleman y de Luccia descubrieron que si uno incluye los efectos gravitatorios, pueden detener la nucleación de la burbuja porque la deformación de la geometría del espacio-tiempo puede impedir que la burbuja logre la relación correcta entre volumen y área de superficie para garantizar que la energía neta sea cero.

Trabajo posterior de R. Gregory et al. sobre la nucleación de dichos instantones en un espacio de De Sitter-Schwarzschild revela que la tasa de nucleación es ligeramente más alta en comparación con el instantón de Coleman. Para un cálculo pedagógico detallado, consulte Soluciones clásicas en la teoría cuántica de campos de Weinberg, o los artículos:

• Agujeros negros como sitios de nucleación de burbujas , R. Gregory et al, [hep-th/1401.0017v1].
• Efectos gravitacionales sobre y de la caída del vacío , S. Coleman, F. de Luccia, Phys. Rev. D 21 , 3305.