¿Es la métrica del espacio objetivo un campo dinámico en la acción de Polyakov?

1. Sí, dentro del modelo sigma no lineal para la cadena con una acción de hoja mundial (WS) , los campos de espacio de destino (TS)$(G, B, \Phi, \ldots)$se tratan como campos de fondo no dinámicos, que desempeñan el papel de constantes de acoplamiento para la teoría WS.

2. Sin embargo, en principio, una teoría completa de la gravedad cuántica también debería incluir una integración fuera de la carcasa sobre geometrías y topologías de TS (y moderación de redundancias). En la práctica, por lo general se confía en una formulación en el caparazón de la teoría de cuerdas. Las condiciones para la desaparición de las funciones beta (para mantener la invariancia de Weyl) producen EFE generalizadas . A menudo es posible realizar estas ecuaciones de función beta a través de una acción TS$S[G, B, \Phi, \ldots]$.

Uno debe tomar lo que estoy a punto de describir aquí con 'una pizca de sal' ya que la derivación que tengo en mente no es tan completa como me hubiera gustado.

De hecho, además de las respuestas habituales de los libros de texto proporcionadas por @Qmechanic y @Sparticle, existe un sentido en el que la integral de ruta que ha escrito ya contiene una integral de ruta sobre las métricas del espacio de destino,$G$: está oculto en la suma sobre bucles (con lo que me refiero a bucles de cadena , no$\alpha'$bucles).

En particular, si se suman los bucles de cadenas (bajo ciertas aproximaciones, en particular permitiendo algún conteo excesivo), se puede mostrar que incluso la integral de trayectoria plana del espacio-tiempo termina siendo igual a una integral de trayectoria sobre los campos del espacio objetivo ($G,B,\Phi$más campos masivos):

Esta es también la razón por la cual la teoría de cuerdas es independiente del fondo , pero esto no se manifiesta ya que uno tiene que sumar bucles (lo cual es difícil). Por supuesto, todo esto es consistente con las respuestas del libro de texto (dadas, por ejemplo, por @Qmechanic y @Sparticle) porque esos argumentos son perturbadores (y generalmente a nivel de árbol en términos de bucles de cuerda, pero cuánticos en$\alpha'$). Si uno incluye bucles de cadena (incluso un bucle), es inmediatamente evidente que los bucles cambian los campos de fondo; este es el mecanismo de Fischler-Susskind y se conoce desde los años 80, por lo que (*) también es bastante natural desde este punto de vista. Por cierto, así fue como se descubrió que las cuerdas bosónicas naturalmente quieren vivir en de Sitter (al menos eso es lo que da la corrección del primer bucle, e ignorando el taquión).

También debo enfatizar que hay supuestos subyacentes a la derivación de (*), por ejemplo, no se sabe si es posible derivarlo sin estropear la renormalizabilidad. Lo dejaré así por ahora.

$^1$(Idealmente, la elección de la métrica$G_0$representaría un mínimo global de la acción efectiva cuántica completa,$S[G,B,\Phi,\dots]$, pero esto es difícil ya que uno termina teniendo que desenredar una integral de ruta que se define iterativamente en términos de un número infinito de otras integrales de ruta (con inserciones de operadores de vértice fuera de la cáscara), por lo que no es lo que uno podría dar a su estudiante graduado como tarea problema. Por lo general, uno hace esto en la teoría de la perturbación, donde las cosas se vuelven manejables (aunque un poco desordenadas), pero más a menudo uno solo trabaja con la acción efectiva de baja energía. En principio, sin embargo, aunque se elija una métrica que no represente ese mínimo, los bucles inducirán renacuajos cuya cancelación corregirá la mala elección de$G_0$. Este es el sentido en el que la teoría de cuerdas del espacio plano ya contiene todo, al menos así lo entiendo).

No es un error tipográfico. La teoría de cuerdas, tal como la describe la acción de Polyakov, se formula perturbativamente en torno a una métrica de espacio objetivo de fondo fijo . En este sentido, la teoría de cuerdas (actualmente) no está formulada de una manera manifiestamente independiente del fondo, a diferencia de la Relatividad General. Eso no quiere decir que el espacio-tiempo en la teoría de cuerdas no sea dinámico.