¿Tiene algún significado una integral de trayectoria de integrales de trayectoria?

Tenga en cuenta que incluso en integrales de trayectoria tradicionales sobre campos,$\mathcal{D}\phi$no tiene sentido. No existe una medida de Lebesgue sobre espacios de dimensión infinita. Entonces$\mathcal{D}S$también debería carecer de sentido. Se pueden definir las integrales de trayectoria (de campo) como integrales honestas con respecto a una medida de probabilidad, es decir, justificar una ecuación como

$$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F(\phi)e^{-S(\phi)}}{\int \mathcal{D}\phi\ e^{-S(\phi)}}\ =\ \int_{S'(\mathbb{R}^d)} d\mu(\phi) \ F(\phi)\ .$$ Aquí $\mu$debe ser una medida de probabilidad de Borel en el espacio de distribuciones de Schwartz templadas en $d$-espacio-tiempo dimensional donde los campos $\phi$vivir. En su caso, primero necesitaría un espacio adecuado $W$de pruebas funcionales en decir $S'(\mathbb{R}^d)$, y luego podría intentar construir sus integrales de trayectoria usando medidas de probabilidad de Borel en $W'$. Para esto necesitas $W$tener buenas propiedades como ser nuclear y Fréchet. El problema es la falta de ejemplos explícitos. Hay ejemplos en el área de la teoría de la probabilidad llamados "cálculo de ruido blanco" (ver palabras clave como triple de Kondratiev, distribución de Hida). Pero no sé si el tipo de integrales de ruta (funcionales) en las que estás pensando surgen naturalmente en cualquier lugar.