¿Esta función de onda del libro de Zettili (Mecánica Cuántica) viola el principio de incertidumbre?

Question

¿Esta función de onda del libro de Zettili (Mecánica Cuántica) viola el principio de incertidumbre?

Física
mecánica cuántica
deberes-y-ejercicios
Principio de incertidumbre de Heisenberg

paradoja

No estoy seguro si mi pregunta cuenta como tarea y ejercicios o no, porque ya sé la respuesta. El problema es que encuentro la respuesta de Zettili bastante insatisfactoria.

Problema 1.11 (a) Encuentre la transformada de Fourier para $\phi(k)=A(a-|k|),~~|k|\leq a~$ dónde $a$ es un parámetro positivo y $A$ es un factor de normalización que se encuentra. (b) Calcular las incertidumbres $\Delta x$ y $\Delta p$ y comprobar si cumplen el principio de incertidumbre.

Hay muchas formas de calcular $\Delta x$ de la función de onda. Uno puede encontrarlo desde $\phi(k)$ o $\psi(x)$ (función de onda en el espacio de posición), etc. En mi opinión, la forma más fácil es obtenerla de $\phi(k)$ . Tenga en cuenta que $\psi (x)=\frac{4}{x^2}\sin^2\left(\frac{ax}{2}\right)$ según Zettili. Así que en el espacio de cantidad de movimiento tenemos:

\hat{X} = i \frac{d}{d k} y {\hat{X}}^{2} = - \frac{d^{2}}{d k^{2}}

$\hat{x}=i\frac{d}{dk}~~~\text{and}~~~~\hat{x}^2=-\frac{d^2}{dk^2}$

⟨ X ⟩ = \int_{- a}^{a} ϕ (k) \hat{X} ϕ (k) d k = i (\int_{- a}^{0} A^{2} (a + k) d k - \int_{0}^{a} A^{2} (a - k) d k) = 0

$\langle x\rangle=\int_{-a}^{a}\phi(k)\hat{x} \phi(k)dk=i\left(\int_{-a}^{0}A^2(a+k)dk-\int_{0}^{a}A^2(a-k)dk\right)=0$

⟨ X^{2} ⟩ = \int_{- a}^{a} ϕ (k) {\hat{X}}^{2} ϕ (k) d k = 0

$\langle x^2\rangle=\int_{-a}^{a}\phi(k)\hat{x}^2 \phi(k)dk=0$

\to Δ X = \sqrt{⟨ X^{2} ⟩ - ⟨ X ⟩^{2}} = 0,

$\rightarrow \Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=0,$ lo que obviamente viola el principio de incertidumbre. Le pregunté sobre esto a mi profesor universitario, dijo que debido a la discontinuidad de la función de onda, debe cambiar

\hat{x}

$\hat{x}$ tal que:

\hat{X} = - i \frac{d}{d k}, - a \leq X < 0

$\hat{x}=-i\frac{d}{dk}, ~ -a\leq x <0$

\hat{X} = i \frac{d}{d k}, 0 \leq X < a

$\hat{x}=i\frac{d}{dk}, ~~~~~~ 0\leq x <a$ ¡Pero me da un número complejo para el promedio de posición! No tiene ningún sentido. Además, es posible mostrar que el promedio de posición en el espacio de posición también es cero

⟨ X ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ (X) \hat{X} ψ (X) d X = 0.

$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\hat{x} \psi(x)dx=0.$

Todas las funciones de onda son reales, así que no usé conjugado complejo en ninguna parte.

Esta es la respuesta de Zettili:

Ahora encontremos el ancho $\Delta x$ de $\psi(x)$ Desde $\sin(a\pi/2a)=1$ , $\psi (\pi/a)=4/\pi^2$ y $\psi(0)=a^2$ podemos obtener $\psi (\pi/a)=4/\pi^2\psi (0)$ o $\frac{\psi (\pi/a)}{\psi(0)}=\frac{4}{\pi^2}$ Esto sugiere que $\Delta x= \pi/a.$

¿Qué hice mal?

knzhou

¡Uf, eso es algo complicado de poner en el capítulo 1 de un libro de texto de QM! El problema es que la segunda derivada es singular, por lo que no puedes confiar en tu evaluación de

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2 \rangle$ . Puede solucionarlo suavizando la singularidad o trabajando con funciones delta.

paradoja

@knzhou Tienes toda la razón. Habría usado la integral de Cauchy en el plano complejo para encontrar

Δ x

$\Delta x$ de

ψ (x)

$\psi (x)$ . No estoy seguro de por qué no vi eso.

Respuestas (1)

¿Esta función de onda del libro de Zettili (Mecánica Cuántica) viola el principio de incertidumbre?

¡Uf, eso es algo complicado de poner en el capítulo 1 de un libro de texto de QM! El problema es que la segunda derivada es singular, por lo que no puedes confiar en tu evaluación de $\langle x^2 \rangle$ . Puede solucionarlo suavizando la singularidad o trabajando con funciones delta.
@knzhou Tienes toda la razón. Habría usado la integral de Cauchy en el plano complejo para encontrar $\Delta x$ de $\psi (x)$ . No estoy seguro de por qué no vi eso.

Ruslán · Answer 1

Puede justificar esto más rigurosamente si toma la $|k|$ término en la función de onda inicial (que no es diferenciable en $k=0$ ) como una distribución, en términos de la función escalón de Heaviside :

| k | = k (2 θ (k) - 1) .

$|k|=k(2\operatorname{\theta}(k)-1).$

Después de eso, diferenciarlo producirá:

\begin{aligned} \frac{d}{d k} | k | & = 2 θ (k) - 1, \\ \frac{d^{2}}{d^{2} k} | k | & = 2 d (k), \end{aligned}

$\begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm dk}|k|&=2\operatorname{\theta}(k)-1, \\ \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d^2k}|k|&=2\operatorname{\delta}(k), \end{align}$

dónde $\operatorname{\delta}$ es el delta de Dirac . Después de tomar propiedades de $\operatorname{\delta}$ en la integración debería poder llegar al resultado correcto.

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paradoja

knzhou

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