Problema sobre la demostración del principio de incertidumbre

F y gramo son dos funciones cuadráticamente integrables. Se muestra a partir de la desigualdad de Schwarz, la definición de la varianza y una identidad de números complejos que

( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2 = ⟨ F | F ⟩ ⟨ gramo | gramo ⟩   ≥   | ⟨ F | gramo ⟩ | 2   ≥   [ ( ⟨ F | gramo ⟩ − ⟨ gramo | F ⟩ ) 2 i ] 2

Entonces la demostración dice: Usa la definición de F y gramo y la normalización de Ψ para verificar que

(I) ⟨ F | gramo >=< gramo | F ⟩ ∗ = ⟨ Ψ | A ^ B ^ | Ψ ⟩ − ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩

Lo que lleva a la fórmula:

( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2   ≥   1 4 | ⟨ Ψ | [ A ^ , B ^ ] | Ψ ⟩ | 2

No consigo la igualdad en (I). Tampoco entiendo la notación en el lado izquierdo. ¿Alguien puede ayudar?

La demostración está tomada del problema 7.60 de la mecánica cuántica de Ira Levine.

Usé por error () para <>. He actualizado eso. En (I) el primero < y el último > deben ser más grandes que el del medio en el lado izquierdo. Desafortunadamente, no sé cómo escribirlo más claro.
por principio, un principio no necesita ser probado

Respuestas (1)

Si ⟨ A ⟩ = ⟨ Ψ | A ^ | Ψ ⟩ existe y es finito. Y ⟨ B ⟩ = ⟨ Ψ | B ^ | Ψ ⟩ existe y es finito. Entonces podemos definir | F ⟩ = A ^ | Ψ ⟩ − ⟨ A ⟩ | Ψ ⟩ y definir | gramo ⟩ = B ^ | Ψ ⟩ − ⟨ B ⟩ | Ψ ⟩ .

Si F y gramo son integrables al cuadrado, entonces puedes calcular las integrales de sus cuadrados (que son ⟨ F | F ⟩ y ⟨ gramo | gramo ⟩ respectivamente). Al simplificar los resultados verás que son iguales a la varianza de A y B respectivamente. Entonces puedes combinar con Cauchy-Schwarz para obtener:

( Δ A ) 2 ( Δ B ) 2 = ⟨ F | F ⟩ ⟨ gramo | gramo ⟩   ≥   | ⟨ F | gramo ⟩ | 2 .

Ahora ⟨ F | gramo ⟩ = ⟨ gramo | F ⟩ ∗ es solo la generalización de a → ⋅ b → = b → ⋅ a → a vectores complejos donde en vez de ser simétricos es conjugado simétrico. Por ejemplo, si ⟨ F | gramo ⟩ = ∫ F ∗ gramo y ⟨ gramo | F ⟩ = ∫ gramo ∗ F entonces ⟨ F | gramo ⟩ = ⟨ gramo | F ⟩ ∗ desde:

∫ F ∗ gramo = ( ∫ F ∗ gramo ) ∗ ∗ = ( ∫ ( F ∗ gramo ) ∗ ) ∗ = ( ∫ F ∗ ∗ gramo ∗ ) ∗ = ( ∫ gramo ∗ F ) ∗ .

Y para obtener el lado derecho, haces los mismos trucos que para mostrar que igualaron la varianza, lleva las constantes fuera de las integrales.

¿No derivarías también la última igualdad de (I)? ¡gracias!
@torgny Va en contra de la política hacer la tarea por ti. Debería haber proporcionado suficientes detalles para que hicieras el resto por ti mismo. Trate a los operadores como matrices, a los vectores como vectores, extraiga constantes y calcule las partes. Si pudiera mostrar la parte de la varianza, debería poder hacer esta parte. Es posible que deba usar que los operadores son observables.
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