Sutileza de la continuación analítica: integral de trayectoria euclidiana/de Minkowski

La condición final para una teoría realista en física es que sus predicciones (de amplitudes de dispersión o correladores, etc.) deben estar de acuerdo con las observaciones. Esto implica que las predicciones tienen que ser consistentes y obedecer algunas condiciones generales de consistencia (unitaridad, no negatividad de las probabilidades, algunas simetrías, localidad o localidad aproximada, etc.).

Para las teorías teóricas, son solo las consistencias generales las que se mantienen. Ahora, la tarea es clasificar todas las teorías posibles y aprender a calcular con ellas.

Resulta que el espacio-tiempo euclidiano o la hoja del mundo es simplemente un enfoque más simple, directo y libre de sutilezas para producir una máquina que calcule algunas amplitudes de dispersión u otros observables.

Al menos formalmente, las teorías euclidianas pueden continuar con las analíticas y viceversa. Para topologías de espacio-tiempo no triviales, es probable que los objetos euclidianos sean más manejables. Por ejemplo, las hojas del mundo en la teoría de cuerdas (piense en un toroide o diagramas de pantalones, etc.) se comportan mucho mejor en la firma euclidiana, por lo que podemos considerar este enfoque como "primario". Los cálculos covariantes en la teoría de cuerdas casi siempre se realizan con los euclidianos. El resultado puede continuar con los momentos de Minkowski, etc. y algunas de las condiciones de consistencia anteriores todavía están garantizadas debido a algunas propiedades del cálculo complejo.

En el indicador de cono de luz, podemos trabajar directamente con las hojas del mundo de la firma Minkowski. Pero pagamos el precio de que los puntos de interacción donde las cadenas se dividen o unen son singulares y la dirección del "tiempo futuro" es ambigua. También debemos incluir términos de contacto, términos de interacción de orden superior, para tratar con algunas divergencias causadas por las hojas del mundo singular, pero cuando estas cosas se suman, podemos probar que las amplitudes resultantes concuerdan con las calculadas covariantemente (en el euclidiano). firma).

Gravedad en$d\geq 4$(y tal vez 3) sufre del "factor conforme a la norma negativa". La acción euclidiana de Einstein-Hilbert$\int R \sqrt{g}$ya no es positivamente definida. En particular, si considera ondas escalares que escalan la métrica por un número total,$g_{\mu\nu}=e^F\eta_{\mu\nu}$, y obtenga el término cinético para$F$, tendrá el signo opuesto al término cinético para otros componentes del tensor métrico (las polarizaciones físicas de las ondas gravitacionales, como$g_{xy}$).

De ello se sigue que la acción no estará limitada ni por abajo ni por arriba, y$\exp(-S_E)$en la trayectoria euclidiana la integral diverge en alguna región del espacio de configuración. En este sentido, la gente cree que la integral de ruta de Minkowski debe ser la "más kosher" para la gravedad de dimensiones superiores. Pero esta es una declaración un poco vacía porque a nivel cuántico, la gravedad de dimensiones superiores obtenida como una cuantificación directa de las ecuaciones de Einstein es inconsistente de todos modos. Y la teoría de cuerdas, que es consistente y contiene gravedad, no nos brinda ninguna herramienta para reescribir directamente la integral de trayectoria en términos de campos de espacio-tiempo, incluida la métrica; no es una teoría de campo en el sentido ordinario. Entonces, la preferencia por la "firma de Minkowski" es un poco vacía. Después de todo, la acción minkowskiana tampoco está limitada por ningún lado. Esto se considera que "no es un problema" porque el integrando es$\exp(iS)$que todavía tiene el valor absoluto igual a uno, por lo que no diverge. Pero personalmente diría que lo ilimitado de la acción euclidiana es el "mismo" problema para la integral de trayectoria de Minkowski.

En general, la rotación de Wick es extremadamente importante en la teoría cuántica de campos y, de hecho, es aún más importante en la gravedad cuántica o en lugares con muchas topologías de espacio-tiempo (o láminas del mundo), es decir, en situaciones en las que uno tiene muchas "variables de tiempo" diferentes en las que podría tratar de ampliar las cosas. Uno no debe tener miedo, pero al final, sea cual sea la teoría con la que trate, obtiene algunas amplitudes cuya autoconsistencia (y/o consistencia con las observaciones) debe verificarse. Con algunas "buenas reglas de comportamiento" durante la rotación de Wick, uno puede estar "bastante seguro" de que se pasarán algunas pruebas.