¿Cómo entender la "continuación analítica" en el contexto de los instantones?

Question

¿Cómo entender la "continuación analítica" en el contexto de los instantones?

Física
instantes
analiticidad
rotación de mecha
tunelización cuántica
teoría cuántica de campos

Wein Eld

Dado que esta es una pregunta sutil e interesante para mí. Daré una descripción bastante detallada. Espero que puedas seguir leyéndolo y que también te resulte interesante.

Para simplificar, a continuación solo discutiré el instantón unidimensional, es decir, la mecánica cuántica. Pero la pregunta se aplica a instantones más generales como BPST instanton en $SU(2)$ Teoría de Yang-Mills. Comencemos con un problema simple de mecánica cuántica. $S_M=\int dt\, L_M=\int dt\,[\frac{1}{2}(\frac{dx}{dt})^2-V(x)]$ siendo el potencial el pozo doble, que se muestra a continuación:

Denotemos el estado cuando la partícula está ubicada en los mínimos izquierdo y derecho como $|L\rangle$ y $|R\rangle$ , respectivamente. Consideremos la amplitud de transición euclidiana:

\begin{matrix} (1) & \underset{τ \to \infty}{límite} ⟨ R | {mi}^{- H τ} | L ⟩ . \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle .\tag{1}$ En el formalismo de la integral de caminos, es

\begin{matrix} (2) & \underset{τ \to \infty}{límite} ⟨ R | {mi}^{- H τ} | L ⟩ = \int D X {mi}^{- \int d τ [\frac{1}{2} (\frac{d X}{d τ})^{2} + V (X)]}, \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle=\int\mathcal{D}x\,e^{-\int d\tau[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d\tau})^2+V(x)]},\tag{2}$ con todos los caminos fijos en el mínimo izquierdo en el mínimo inicial y derecho en el tiempo euclidiano final

τ

$\tau$ . Antes de hablar de cómo evaluarlo. Primero comparemos con la integral de trayectoria de Minkowski

\begin{matrix} (3) & \underset{t \to \infty}{límite} ⟨ R | {mi}^{- i H t} | L ⟩ = \int D X {mi}^{i \int d t [\frac{1}{2} (\frac{d X}{d t})^{2} - V (X)]} . \end{matrix}

$\lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle=\int\mathcal{D}x\,e^{i\int d t[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d t})^2-V(x)]}.\tag{3}$ La ecuación (2) se puede obtener mediante una sustitución formal

t = - i τ

$t=-i\tau$ en la ecuación (3). Nótese que a partir de la acción euclidiana

\begin{matrix} (4) & S_{mi} = \int d τ [\frac{1}{2} (\frac{d X}{d τ})^{2} + V (X)] \end{matrix}

$S_E=\int d\tau[\frac{1}{2}(\frac{dx}{d\tau})^2+V(x)]\tag{4}$ Ahora en la acción

S_{E}

$S_E$ , podemos ver que el potencial es

- V (x)

$-V(x)$ , es decir, está al revés en comparación con el original en el

S_{M}

$S_M$ .

La integral de trayectoria (2) se puede evaluar mediante el método del descenso más pronunciado: expandiéndose alrededor de los mínimos de la acción euclidiana $S_E$ . Uno de los mínimos de acción euclidiana da una solución en el espacio-tiempo euclidiano (ya que estamos discutiendo la situación de la mecánica cuántica, el espacio-tiempo euclidiano es unidimensional):

\begin{matrix} (5) & \frac{d S_{mi}}{d X} = 0, \end{matrix}

$\frac{\delta S_E}{\delta x}=0,\tag{5}$ que tiene la conocida solución de torcedura:

\begin{matrix} (6) & \bar{X} (τ) = bronceado (τ - τ_{0}), \end{matrix}

$\bar{x}(\tau)=\tanh(\tau-\tau_0),\tag{6}$ donde

τ_{0}

$\tau_0$ es una constante arbitraria, que se origina de la

τ -

$\tau-$ simetría de traslación de

S_{E}

$S_E$ . En la integral de trayectoria necesitamos integrar

τ_{0}

$\tau_0$ para sumar todos los caminos traducidos de la expresión (6). Para simplificar, tomemos

τ_{0} = 0

$\tau_0=0$ para mirar el perfil de la solución. Se muestra de la siguiente manera:

.

Tenga en cuenta que no existe una solución clásica en el espacio-tiempo de Minkowski para

\begin{matrix} (7) & \frac{d S_{METRO}}{d X} = 0 \end{matrix}

$\frac{\delta S_M}{\delta x}=0 \tag{7}$ con las mismas condiciones iniciales y finales porque cualquier camino romperá la ley de conservación de la energía. Ahora podemos continuar con el método del descenso más pronunciado y obtener el orden principal:

\begin{matrix} (8) & \underset{τ \to \infty}{límite} ⟨ R | {mi}^{- H τ} | L ⟩ \sim {mi}^{- S_{mi} [\bar{X} (τ)]} . \end{matrix}

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle\sim e^{-S_E[\bar{x}(\tau)]}.\tag{8}$

Hasta aquí, todo bien. Pero de alguna manera la gente interpreta el resultado anterior como la tasa de tunelización desde el mínimo izquierdo al mínimo derecho. Sé que hay más cosas en toda la historia. Por ejemplo, se puede reconocer el resultado de la ecuación (8) como la supresión exponencial que se obtendrá en un cálculo WKB para resolver la ecuación estacionaria de Schrödinger y, por lo tanto, justificar la interpretación.

Pero lo que encuentro con más frecuencia es que la razón por la que interpretamos la Ec. (8) como la tasa de tunelización porque podemos continuarla hasta el resultado de Minkowski. Tal vez la lógica sea la siguiente (Nota, infiero esta lógica de las oraciones y puede haber algo más profundo que signifiquen. Esto es lo que quiero discutir en esta publicación). Dado que la acción instantánea es ocasionalmente independiente de $\tau$ , cuando continuamos hacia atrás, sustituimos formalmente $\tau=it$ , todavía tenemos tal supresión exponencial.

El problema es que, como se explica en la respuesta de Qmechanic, nunca podemos detenernos en el punto estacionario, que es solo una parte de la integral de ruta euclidiana completa, hacer el cálculo y decir, mira, ahora continuemos con el resultado de nuevo en Minkowski. tiempo espacial. En realidad, el propio punto estacionario cambiará simultáneamente cuando rotemos el tiempo. Cuando volvemos a rotar en el espacio-tiempo de Minkowski, no tenemos ningún punto estacionario si todavía creemos que las posiciones son números reales.

En particular, en el contexto de los instantones en la teoría gauge (con interacciones con fermiones). Se puede calcular la siguiente amplitud de transición en un fondo instantáneo de campo de calibre

⟨ 0 | 0 ⟩_{1 - i norte s t}

$\langle 0|0\rangle_{1-inst}$ Debido a los modos cero de fermioinc, se obtiene un resultado de desaparición. Para obtener un resultado que no se desvanece, debemos insertar los operadores t' Hooft como

{\bar{ψ}}_{R} ψ_{L}

$\bar\psi_R\psi_L$ , es decir

⟨ 0 | {\bar{ψ}}_{R} ψ_{L} | 0 ⟩ .

$\langle 0|\bar\psi_R\psi_L|0\rangle.$

En este punto, ahora es realmente muy frecuente ver a la gente decir, esto representa la violación quiral en el espacio-tiempo real de Minkowski a través de la continuación analítica. ¿Pero cómo? ¿Cómo podemos continuar un resultado cerca de un punto estacionario euclidiano de regreso al espacio-tiempo de Minkowski? Cuando hacemos la continuación, ¿debemos continuar simultáneamente el punto estacionario mismo, es decir, continuar el instante euclidiano hasta el espacio-tiempo de Minkowski?

En conclusión, mi pregunta es, ¿cómo entender exactamente la palabra "continuación analítica" en estos casos específicos? Creo que esto tiene una respuesta en la teoría de Picard-Lefschetz.

( actualizado el 8 de marzo de 2021 ) Creo que la mayoría de mis confusiones fueron respondidas en un artículo reciente arXiv: 1905.04236

La siguiente es la pregunta original que ahora tiene una relevancia relativamente menor.

Mi pregunta es sobre la interpretación de túneles de la solución de torcedura y la amplitud de transición euclidiana. La gente siempre dice que una solución torcida describe que un proceso de túnel ocurre desde el mínimo izquierdo en el pasado lejano hasta el mínimo derecho en el futuro lejano. Esta imagen para mí es un poco vaga. las preguntas es

(1) es $\lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle=\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle$ ? Bueno, parece que esto es cierto generalmente por el argumento aproximado de la rotación de Wick (o me equivoqué). Pero incluso si es cierto, no se justifica en absoluto tener

\underset{τ \to \infty}{límite} ⟨ R | {mi}^{- H τ} | L ⟩_{i norte s t} = yo mi a d i norte gramo o r d mi r o F \underset{t \to \infty}{límite} ⟨ R | {mi}^{- i H t} | L ⟩

$\lim_{\tau\rightarrow\infty}\langle R|e^{-H\tau}|L\rangle_{\rm inst}={\rm leading\ order\ of} \lim_{t\rightarrow\infty}\langle R|e^{-iHt}|L\rangle$

(2) Aunque la acción de Minkowski no contiene una solución clásica. Debe haber caminos cuánticos que puedan romper la ley de conservación de la energía debido al principio de incertidumbre. ¿Cuáles son los caminos cuánticos (dominantes) en el proceso de tunelización? Nuestra primera conjetura puede ser $\bar{x}(t)=\tanh(it)$ con sustitución formal $\tau=it$ volver a la solución torcida $\bar{x}(\tau)=\tanh(\tau)$ . Pero $\tanh(it)$ es imaginario por lo tanto no físico como la posición $x$ . ¿Hay alguna interpretación de la solución de torcedura en el espacio-tiempo de Minkowski?

Robar

Un enfoque, que no entiendo pero que podría: inspirehep.net/record/1453973/files/Rug_Tehseen.pdf

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/80889/2451 y enlaces allí.

Tiberio

@WeinEld No debe publicar una nueva pregunta en un hilo existente que ya tiene una respuesta. Si aún no hubiera publicado una recompensa, le diría que cree una nueva pregunta y enlace a esta para tener contexto.

Wein Eld

@Tyberius Gracias por tu sugerencia. Pero creo que es básicamente mi confusión original y la acabo de pulir.

Respuestas (2)

¿Cómo entender la "continuación analítica" en el contexto de los instantones?

Un enfoque, que no entiendo pero que podría: inspirehep.net/record/1453973/files/Rug_Tehseen.pdf
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/80889/2451 y enlaces allí.
@WeinEld No debe publicar una nueva pregunta en un hilo existente que ya tiene una respuesta. Si aún no hubiera publicado una recompensa, le diría que cree una nueva pregunta y enlace a esta para tener contexto.
@Tyberius Gracias por tu sugerencia. Pero creo que es básicamente mi confusión original y la acabo de pulir.

qmecanico · Answer 1

TL; DR: la pregunta del título de OP (v7) sobre los instantenes en la firma de Minkowski no tiene sentido físicamente. Es un desvío matemático irrelevante enloquecido. La conexión con la física/la naturaleza se establece a través de una rotación de Wick de la integral de la ruta euclidiana completa, no partes y piezas de la misma. Dentro de la integral de la trayectoria euclidiana, es posible expandirse consistentemente sobre los instantones euclidianos, pero no tiene sentido que Wick gire la imagen del instanton a la firma de Minkowski.

En más detalles, que se dé un potencial de doble pozo

\begin{matrix} (A) & V (X) = \frac{1}{2} (X^{2} - a^{2})^{2} . \end{matrix}

$V(x)~=~\frac{1}{2}(x^2-a^2)^2. \tag{A}$

Las formulaciones minkowskiana y euclidiana están conectadas a través de una rotación de Wick

\begin{matrix} (B) & t^{mi} {mi}^{i ϵ} = {mi}^{i \frac{π}{2}} t^{METRO} {mi}^{- i ϵ} . \end{matrix}

$t^E e^{i\epsilon}~=~e^{i\frac{\pi}{2}} t^M e^{-i\epsilon}.\tag{B}$

Hemos incluido el de Feynman $i\epsilon$ -prescripción para ayudar a la convergencia y evitar cortes de ramales y singularidades. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

I) Por un lado, la función de partición euclidiana/integral de trayectoria es

\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} Z^{mi} = & Z (Δ t^{mi} {mi}^{i ϵ}) \\ = & ⟨ X_{F} | Exp [- \frac{H Δ t^{mi} {mi}^{i ϵ}}{ℏ}] | X_{i} ⟩ \\ = & norte \int [d X] Exp [- \frac{S^{mi} [X]}{ℏ}], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z^E~=~&Z(\Delta t^E e^{i\epsilon})\cr ~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{H \Delta t^E e^{i\epsilon}}{\hbar}\right] | x_i \rangle \cr ~=~&N \int [dx] \exp\left[-\frac{S^E[x]}{\hbar} \right],\end{align}\tag{C}$

con acción euclidiana

\begin{matrix} (D) & \begin{aligned} S^{mi} [X] = & \int_{t_{i}^{mi}}^{t_{F}^{mi}} d t^{mi} [\frac{{mi}^{- i ϵ}}{2} {(\frac{d X}{d t^{mi}})}^{2} + {mi}^{i ϵ} V (X)] \\ = & \int_{t_{i}^{mi}}^{t_{F}^{mi}} d t^{mi} \frac{{mi}^{- i ϵ}}{2} {(\frac{d X}{d t^{mi}} \mp {mi}^{i ϵ} \sqrt{2 V (X)})}^{2} \\ \pm \int_{X_{i}}^{X_{F}} d X \sqrt{2 V (X)} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S^E[x] ~=~&\int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \left[ \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\right)^2+e^{i\epsilon}V(x)\right]\cr ~=~& \int_{t^E_i}^{t^E_f} \! dt^E \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^E}\mp e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}\right)^2 \cr &\pm \int_{x_i}^{x_f} \! dx ~\sqrt{2V(x)}.\end{align}\tag{D}$

y una solución anti-torceduras normal y real $^1$

\begin{matrix} (MI) & \begin{aligned} \frac{d X}{d t^{mi}} \mp {mi}^{i ϵ} \sqrt{2 V (X)} \approx & 0 \\ ⇕ \\ X (t^{mi}) \approx & \pm a bronceado ({mi}^{i ϵ} Δ t^{mi}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{dx}{dt^E}\mp e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}~\approx~&0 \cr ~\Updownarrow~ & \cr x(t^E) ~\approx~&\pm a\tanh(e^{i\epsilon}\Delta t^E). \end{align}\tag{E}$

Nótese que a priori el espacio $x$ y tiempo $t^E$ son coordenadas reales en la integral de trayectoria (C). Para evaluar la integral de trayectoria euclidiana (C) a través del método del descenso más pronunciado , no necesitamos complejizar el espacio ni el tiempo. ¡Ya nos estamos integrando en la dirección del descenso más empinado!

II) Por otro lado, la correspondiente función de partición minkowskiana/integral de trayectoria es

\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} Z^{METRO} = & Z (i Δ t^{METRO} {mi}^{- i ϵ}) \\ = & ⟨ X_{F} | Exp [- \frac{i H Δ t^{METRO} {mi}^{- i ϵ}}{ℏ}] | X_{i} ⟩ \\ = & norte \int [d X] Exp [\frac{i S^{METRO} [X]}{ℏ}], \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z^M~=~&Z(i \Delta t^M e^{-i\epsilon})\cr ~=~& \langle x_f | \exp\left[-\frac{iH \Delta t^M e^{-i\epsilon}}{\hbar} \right] | x_i \rangle\cr ~=~& N \int [dx] \exp\left[\frac{iS^M[x]}{\hbar} \right],\end{align}\tag{F}$

con acción minkowskiana

\begin{matrix} (GRAMO) & \begin{aligned} S^{METRO} [X] = & \int_{t_{i}^{METRO}}^{t_{F}^{METRO}} d t^{METRO} [\frac{{mi}^{i ϵ}}{2} {(\frac{d X}{d t^{METRO}})}^{2} - {mi}^{- i ϵ} V (X)] \\ = & \int_{t_{i}^{METRO}}^{t_{F}^{METRO}} d t^{METRO} \frac{{mi}^{- i ϵ}}{2} {(\frac{d X}{d t^{METRO}} \mp i {mi}^{i ϵ} \sqrt{2 V (X)})}^{2} \\ \pm i \int_{X_{i}}^{X_{F}} d X \sqrt{2 V (X)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} S^M[x]~=~&\int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \left[ \frac{e^{i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\right)^2-e^{-i\epsilon}V(x)\right]\cr ~=~& \int_{t^M_i}^{t^M_f} \! dt^M \frac{e^{-i\epsilon}}{2} \left(\frac{dx}{dt^M}\mp i e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}\right)^2 \cr &\pm i \int_{x_i}^{x_f} \! dx ~\sqrt{2V(x)},\end{align}\tag{G}$

y una solución singular imaginaria de torcedura/anti-torcedura

\begin{matrix} (H) & \begin{aligned} \frac{d X}{d t^{METRO}} \mp i {mi}^{i ϵ} \sqrt{2 V (X)} \approx & 0 \\ ⇕ \\ X (t^{METRO}) \approx & \pm i a broncearse ({mi}^{- i ϵ} Δ t^{METRO}) \\ = & \pm a bronceado (i {mi}^{- i ϵ} Δ t^{METRO}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \frac{dx}{dt^M}\mp i e^{i\epsilon}\sqrt{2V(x)}~\approx~&0 \cr ~\Updownarrow~ & \cr x(t^M)~\approx~&\pm i a\tan(e^{-i\epsilon}\Delta t^M)\cr ~=~&\pm a\tanh(i e^{-i\epsilon}\Delta t^M). \end{align}\tag{H}$

Es tranquilizador que el $i\epsilon$ la regularización asegura que la partícula comience y termine en los mínimos potenciales:

\begin{matrix} (YO) & \underset{Δ t^{METRO} \to \pm^{'} \infty}{límite} X (t^{METRO}) = (\pm a) (\pm^{'} 1) . \end{matrix}

$\lim_{\Delta t^M\to \pm^{\prime}\infty} x(t^M)~=~(\pm a) (\pm^{\prime} 1). \tag{I}$

Desafortunadamente, eso parece ser lo único bueno de la solución (H). Nótese que a priori el espacio $x$ y tiempo $t^M$ son coordenadas reales en la integral de trayectoria (F). No podemos aplicar directamente el método del descenso más pronunciado para evaluar la integral de trayectoria de Minkowski. Necesitamos deformar el contorno de integración y/o complejizar el tiempo y el espacio de manera consistente. Esto se rige por la teoría de Picard-Lefschetz y el dedal de Lefschetz. En particular, el papel de la solución imaginaria singular kink/anti-kink (H) pierde su importancia, porque no podemos expandirnos perturbativamente a su alrededor de ninguna manera significativa.

--

$^1$ La solución tangente explícita (hiperbólica) (E) es una solución de juguete demasiado simplificada. Oscurece la dependencia del tiempo finito inicial (y final) $t^E_i$ (y $t^E_f$ ), parámetros de módulos y multi-instantes. Nos remitimos a la literatura para más detalles.

Muchas gracias por su respuesta y lamento mucho mi muy lenta reacción para llegar a la imagen que describió aquí. Estoy completamente de acuerdo en que no tiene sentido (o al menos según mi comprensión actual) continuar con fragmentos de la integral del camino euclidiano hasta el espacio-tiempo de Minkowski. Pero parece que en muchos casos, las personas realmente continúan las amplitudes de transición en un segundo plano instantáneo a los resultados de Minkowski.
Continuar..., Un resultado particular es la violación del número de bariones y leptones, que aparentemente se obtiene al continuar la amplitud de transición euclidiana en un fondo de instancia (el instante BPST) al espacio-tiempo de Minkowski. Como acepté su opinión, ¿cómo puedo ver claramente que es legal continuar los resultados obtenidos alrededor de un punto estacionario euclidiano (por lo tanto, truncado y solo un poco de la integral de ruta euclidiana completa) de regreso al espacio-tiempo de Minkowski?

David Bar Moshé · Answer 2

En los últimos años hay una comprensión renovada del papel de la continuación analítica en las integrales de trayectoria, consulte el siguiente trabajo de Witten. Las consecuencias de este entendimiento son realmente emocionantes. Permiten, por ejemplo, comprender la teoría de Chern-Simons para niveles no enteros (nuevamente Witten ).

Las técnicas de continuación analítica se basan en la teoría de Picard-Lefschetz, que básicamente establece que una integral de punto silla se puede asociar con una integral convergente sobre un ciclo en un espacio complejizado. Los ciclos de integración convergentes se conocen con el nombre de dedales de Lefshetz.

La integración sobre trayectorias complejas ya se encontraba en integrales de trayectoria de estados coherentes; véase, por ejemplo, el siguiente trabajo de Stone, Park y Garg . Estas integrales se formulan en el espacio de fase que puede considerarse como una complejización del espacio de configuración.

En cuanto al caso del pozo doble: consulte el siguiente trabajo de Cherman y Ünsal, donde consideran una familia de continuaciones analíticas del tiempo:

t = {mi}^{i α} τ 0 < α \leq \frac{π}{2}

$t = e^{i\alpha} \tau \quad0 \lt \alpha \le \frac{\pi}{2}$ (La integral de trayectoria euclidiana corresponde al caso especial de

α = \frac{π}{2}

$\alpha = \frac{\pi}{2}$ ). Para cada valor de

α

$\alpha$ encuentran una solución instantánea compleja cuya acción del punto de silla correspondiente es igual al valor correcto. El único problema es que el límite del valor minkowskiano

α = 0

$\alpha = 0$ es singular.

Para una explicación más detallada sobre la teoría de Picard-Lefschetz y más ejemplos, consulte la siguiente tesis de: Yuya Tanizaki

¿Cómo entender la "continuación analítica" en el contexto de los instantones?

Wein Eld

La siguiente es la pregunta original que ahora tiene una relevancia relativamente menor.

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¿Cómo puedo entender el problema del efecto túnel mediante la integral de trayectoria euclidiana donde la fluctuación cuadrática tiene un valor propio negativo?

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