¿Rotaciones de mecha, convergencia y propagadores de Feynman?

Las dos integrales no están relacionadas por un cambio de contorno, o al menos no de forma obvia. Estas son integrales funcionales sobre algún espacio de campos.$V_{\mathbb{R}}=\{\phi\ |\ \phi: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}\}=:\Gamma_1$a saber, un contorno de integración de dimensión infinita (plano) dentro de la complejización$V_{\mathbb{C}}=\{\phi\ |\ \phi: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{C}\}$. No hay un segundo contorno (posiblemente curvo)$\Gamma_2$en$V_{\mathbb{C}}$lo que te daría la otra integral. La rotación de la mecha es más sutil porque implica una continuación analítica en los argumentos de la función.$\phi$que a su vez es la variable de integración. A saber, uno hace algo como girar$\phi(x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$en$\phi(\pm i x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$.

Además, integrales como$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(iS[\phi])$o$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S_E[\phi])$no tienen ningún sentido por sí mismos. Incluso en el caso euclidiano de mejor comportamiento, y en ausencia de corte UV e IR, ¿cómo sería una ecuación como

$$\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S[\phi])\ =\ \frac{3}{4}$$ ¿significar? Por qué no $\frac{\pi}{2}$o $10^{100}$mientras estamos en eso?

Lo que puede tener sentido son proporciones como

$$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F[\phi]\ \exp(iS[\phi])}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp(iS[\phi])}$$ o $$\frac{\int \mathcal{D}\phi\ F[\phi]\ \exp(-S_E[\phi])}{\int \mathcal{D}\phi\ \exp(-S_E[\phi])}$$ para $suitable$funcionales $F[\phi]$. Por suerte, esto es lo que necesita la física, por ejemplo, funciones de correlación. Creo que lo que Hawking está tratando de decir, de una manera matemáticamente descuidada, es el siguiente hecho. En algunos casos, se puede dar sentido a la razón euclidiana como una integral honesta con respecto a ( $\sigma$-aditiva) medida de probabilidad a saber $$\int_{S'(\mathbb{R}^d)}\ F[\phi]\ d\mathbb{P}(\phi)\ .$$ Por otro lado, para la razón de Minkowski no se puede hacer eso con un $\sigma$-Medida compleja aditiva, incluso para una teoría libre . Esto fue notado por primera vez por Cameron, véase, por ejemplo, este artículo .

Observe que aunque el momento euclidiano y el momento 4 en el espacio de Minkowski están relacionados por una rotación de la componente 0, las integrales son diferentes. Más detalladamente, bajo la sustitución$p^0=\mathrm{i}\,p^0_\mathrm{E}$, la integral se convierte en

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}p^0=\mathrm{i}\,\int\limits_{\mathrm{i}\,\infty}^{-\mathrm{i}\,\infty}\!\mathrm{d}p^0_\mathrm{E}\ne \mathrm{i}\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\mathrm{d}p^0_\mathrm{E} \;.$$ Supongamos que tuviera que calcular la integral sobre una Gaussiana, entonces haría $$\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}x\,e^{x^2}\to \mathrm{i}\,\int\limits_{-\infty}^\infty\!\mathrm{d}x_\mathrm{E}\,e^{-x^2_\mathrm{E}}\;,$$ donde el lado izquierdo es convergente mientras que el lado derecho no lo es. (Y tienes razón al decir que el $\varepsilon$término hace que la integral converja.)